逆関数

質問

逆関数の場合、互いに直線ｙ＝ｘに感じて線対称のグラフになると思うのですが、これはなぜでしょうか？
ｙ＝a^ｘとｙ＝ｌoｇ(a)ｘの関係とかなら一応わかるのですが、一般的な話になるとどうしてなのかよくわかりません。
簡単なことかもしれませんが、ヨロシクお願い致します。

回答No.4

Mell-Lily · ベストアンサー

関数
　f:x→y …(1)
に対し、関数
　f^(-1):y→x …(2)
を、関数fの逆関数と言います。ところで、点
　(x,y)
に対し、点
　(y,x)
は、直線
　y=x
に関して、対称な位置にあります。グラフとは、点の集り（集合）ですから、fのグラフは、f^(-1)のグラフに対し、直線に関して、対称になります。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました、。

回答No.3

KENZOU

【蛇足の補足】
点P(x1,y1)の直線ax+by+c＝０に関して線対称な点をP’(x2,y2)とすると
　x2＝x1-2a(ax1+bx1+c)/(a^2+b^2)　(1)
　y2＝y1-2b(ax1+bx1+c)/(a^2+b^2)　(2)
となりますね。今、直線ｙ＝ｘについての線対称な座標を求めるとa=-1,b=1,c=0とおいて(1)、(2)より
　x2＝y1,　y2＝x1　(3)
つまりこれはnamihei_115さんの言われているとおり、x,y座標軸を相互に入れ替えることを意味しますね。
　　ｙ＝ａ^x　⇔　ｘ＝ａ^y

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.2

sanori

＃１さんのおっしゃるとおりです！

わたしは、おまけの回答をします。

わたしは図形的な把握が結構苦手だったんですが、逆関数の微分がdx/dyで表せるのは理解できました。
結局これって、＃１さんのおっしゃることと全く等価なんですよね。わたしは、あとで気づきました。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

namihei_115

逆関数というのは，関数のxとyを入れ替えたものですよね．

ですからグラフもx軸とy軸を入れ替えたグラフになります．これはまさにy=xに対して線対称に反転させたものです．

考えてみてください．

お礼

ありがとうございました。