計算せずに、分数の大小を判別したい

質問

たとえば、「１３／２００と１５／２２０」の場合。

一見すると、分子は２しか増えない一方、分母は２０も増えるので、
１３／２００の方が大きいように思えます

が、実際に計算してみると、
１３／２００＝０．０６５
１５／２２０＝０．０６８
で、１５／２２０の方が大きい。
この大小を、計算せずに判別するには、どうしたらよいのでしょうか。
論理的な解法、感覚的な解法、いずれでもかまいません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

omar123 · ベストアンサー

「論理的な解法」をお答えします。ですが、感覚的にも理解できるものです。
すこし話が難しくなるかもしれませんが、分からなかったら飛ばしてもらってかまいません。

残念ながら、他の回答者も言っているように、全く計算せずに大小を判別することはできません。
それは、「分数」(有理数といいます)というのは、足し算、引き算、掛け算までができる「整数」(小数だったりしない数です)というものを「2つ」つかって構成されるからです。
つまり、3 < 5とか、-19 < 2などの、普通の整数の大小関係(つまり(全)順序)をつかうことができないのです。

では分数の大小関係はどう定義されるのかというと、まずは、二つの分数が等しい、つまり(a,b,c,dを整数,bとdは0でないとして)

a/b = c/d

ということが

ad = bc

として定義されます。
つまり、「1つ目の分数の分子かける2つ目の分数の分母と、2つ目の分数の分子かける1つ目の分数の分母が等しいときに、1つ目の分数と2つ目の分数は等しい」と、(大学以上では)定義されるのです。

そして、a,b,c,dが全て正(プラス)のとき、ある分数が別の分数より大きい、つまり

a/b > c/d

というのは

ad > bc

として定義されます。
つまり、「1つ目の分数の分子かける2つ目の分数の分母の方が、2つ目の分数の分子かける1つ目の分数の分母より大きいときに、1つ目の分数の方が2つ目の分数より大きい」と定義されます。

これらの定義の仕方は、分数が同じとか大きいとかを定義するときに「掛け算」しか使いません。もともと、1個の整数の中では足し算引き算、そして掛け算までしかできないので、このようにすることで、「分子」と「分母」という二つの整数の組み合わせから掛け算だけを使って「分数」(有理数)を作ることができます。そして、分数の中では足し算、掛け算、引き算、そして割り算も自由にできるのです。
(これは、数学の言葉で、「有理数体は(有理)整数環の商体である」と言い表すことができます)

ここまではややこしい話なので読み飛ばしてもらってもかまいません。結論は、

ad > bc ならば a/b > c/d

ということです。つまり、
「1個目の分数の分子かける2個目の分数の分母の方が、2個目の分数の分子かける1個目の分数の分母より大きいときに、1個目の分数の方が2個目の分数より大きい」
のです。たとえば、 13/200 と 15/220 では、

13かける220 = 2860
15かける200 = 3000

つまり、15かける200の方が大きいので、15が分子だったほう、つまり15/220の方が大きいということが分かります。

この方法は掛け算しか使ってないので、他の回答者のやり方よりも効率がよいということが分かっていただけると思います。
(本当は、前述の通り、本来こちらの方が、分数に大小関係を入れる、つまり有理数に全順序を入れるときの定義です。これで、有理数体は順序体にもなる、と言います)

感覚的には次のようにしてわかります。

分数は、分子が大きいほど大きくなり、分母が大きいほど小さくなります。
だから、「1つ目の分数の分子が大きい」ということと「2つ目の分数の分母が大きい」ということは、どちらも「1つ目の分数が大きい」ということにプラスに働きます。

そして、1つ目の分数の分子かける2つ目の分数の分母と、2つ目の分数の分子かける1つ目の分数の分母が等しいとき、二つの分数の値は同じです。(ad = bc ならば a/b = c/d)

ですから、1つ目の分数の分子かける2つ目の分数の分母の方が、2つ目の分数の分子かける1つ目の分数の分母より大きいというのは、1つ目の分数の方が大きいということになるのです。

お礼

ありがとうございます。
大学で数学を学ばれた方なのですか。
前半は難しかったものの、後半の掛け算の遣り方、初めて知りました！！！

回答No.5

hrsmmhr

計算はするのですが

a/cと(a+b)/(c+d)なら、どちらにも(c+d)をかけて
a(c+d)とc(a+b)で、acを引いてbdで割ってみると
a/bとc/dなので、
分母分子の加算分の分数と比較すると少しだけ楽に判別できる場合があります

この例なら
13/200と2/20がどちらが大きいかということになり
後なので足した後のほうが大きいことになります

分母分子を近い値に揃えてみたり、
この操作を繰り返したりするバリエーションもありますが
暗算が感覚的な範囲でできないと、普通に計算した方が速くなります

お礼

ありがとうございます。
複雑な遣り方ですね。

回答No.3

wakko777

さすがに計算せずってのは無理ですね。
私がやるのは、分母を合わせる方法ですね。
例えば１３／２００　⇒　１４．３／２２０　って感じに。
そしたら、１５／２２０の方が大きいって一目でわかるでしょ。

お礼

ありがとうございます。
増比ですね。

回答No.2

cisim_body

分数なので、差分ではなくて比率で考えるべき。
したがって、＃１の回答のとおり、分母が２００→２２０＝＋１０％だから、分子も１３＋１０％＝１４．３＜１５　となる訳だが、この時点で計算をしている。
すなわち、計算をせず・・・と言うのは、不可能である。
非常に良く計算の訓練を積んだ者は、カンで大小くらいなら判別できるだろう。

そういえば、１０年くらい前、計算の速い人と一緒に仕事していた。
５桁の加減算は俺が電卓をたたくより速く、３桁×３桁の計算も暗算でできる人だった。
そういう人なら、感覚（でも、実際は計算している）的に判るのだろう。

お礼

ありがとうございます。
差分（＋いくつ）ではなく、増比（＋何％）ですね。確かに計算してますね。正確には、「計算せずに」ではなく、「概算で」って所でしょうか。

回答No.1

DJ-Potato

数の増減で感覚をつかむよりは、割合で感覚をつかむと、あまり外れないと思います。

200→220は１割増だけど、
13→15は１割増以上だから、
全体的には増し、なんだなぁ、って。

でも、それは頭の中でちゃんと暗算できちゃってるからそう思うのかもしれませんね。
みんながその感覚を共有できるかは、ちょっと自信がないです。

お礼

ありがとうございます。
増比ですね。