行列の微分

質問

以下の式の計算過程を教えてください　a:ベクトル、A:行列

δa'Aa
------ = (A+A')a
δa

回答No.3

alice_44

勾配が列ベクトルか行ベクトルかには、それぞれ流儀があって、
どちらを使うかは、その人の好みによります。
本来的には、行ベクトルなんだろうけれども、実係数の範囲では
列ベクトルでも済んでしまうから、そちらも根強く使われている。

質問の「解答」も、勾配を列ベクトルとする立場ですね。
その立場では、ベクトル変数 a と定数ベクトル b の内積の勾配が
∂(b' a)/∂a = b となることは、成分計算で導くしかありません。
ここを成分計算してしまえば、∂(a' b)/∂a = ∂(b' a)/∂a = b
を導くことはできて、∂(a' A a)/∂a を積の微分法に持ち込む
ことができますが。

ちなみに、勾配を行ベクトルとする立場では、
∂(a' A a)/∂a = a' (A + A') になります。

回答No.2

hugen

δa'Aa
------ =(δa/δa)'Aa+a'δAa/δa=Aa+a'A=Aa+A'a
δa

お礼

回答ありがとうございます。

最後の、Aa+a'A=Aa+A'a のところのa'AはなぜA'aに変換できるのですか？前者の結果は行ベクトルで後者の結果は列ベクトルですよね？最終結果が列ベクトルだからでしょうか？？

回答No.1

alice_44

まず、∂/∂a てのが ∇ の意味だということが
理解できているがどうか。
それが解っていれば、あとは成分ごとに計算して、
ただの積の微分公式に帰着される。

お礼

左辺と右辺が等しいことは２次元のケースで成分ごとに計算する方法で確認しましたが、成分ごとに計算するやり方以外で左辺から右辺を導くことはできませんか？