関数と極限

質問

次の数列の極限値を求めよ。
2,-2/3,2/9,-2/27,・・・,2/(-3)^n-1,・・・

の解き方を教えて下さい。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

分母にある 3 の n 乗を 1+2 の n 乗と見て、
二項定理を使えば、各項よりそれぞれ大きい
一次式の分数を作ることができます。
(1+2)のn乗 = 1 + n・2 + (nＣ2)(2の2乗) + …
＞ 1 + 2n.
よって、第n項の絶対値 = 6/(3のn乗)
＜ 6/(1 + 2n).
ここで、n→∞ とすると…
しかし、多分に技巧的です。
補足の文面から考えて、貴方には難しい
のではないかとも思います。
A No.2 のほうが、基本だし、
むしろ簡単だと思うのですが…

お礼

有り難う御座いました。

回答No.3

info22_

#1です。

ひょっとして問題が違っていませんか？
誤：次の数列の極限値を求めよ。
正：次の数列の和の極限値を求めよ。

もしそうなら、問題の数列が初項2,公比-1/3なので
Sn=2{1-(-1/3)^(n+1)}/{1-(-1/3)}
=2{1-(-1/3)^(n+1)}/(4/3)
=(3/2){1-(-1/3)^(n+1)}
lim(n→∞)Sn=lim(n→∞) (3/2){1-(-1/3)^(n+1)}=3/2

お礼

多分、そうかもしれません。問題は、間違っていませんでした。

回答No.2

alice_44

|2/(-3)^(n-1)| ＜ ε と置くと、
1 + log(2/ε) / log(3) ＜ n と変形できます。
任意の正数 ε に対して、
この不等式を満たす自然数 n を挙げることができます。
ε はどんなに小さい正数でもよいのですから、
それって、n を大きくすれば、項はいくらでも小さくなる
ってことですよね。→0 とは、そういう意味でしょう？

お礼

あまり詳しく分からないのですが、同じ問題【数列の極限値を求めよ】で、n^2-1/n^2という問題は、何とか分数を使うじゃないですか。分数式に分数があるやつです。名前を忘れてしまいましたが・・・
そうすると
lim[n→∞]
n^2+1/n^2+n^2/n^2/n^2
で答えが１と出るじゃないですか。
その様にして解答する事は出来ないのですか。分数の中に分数がある式を使って教えて頂きたいのですが、教科書みると絶対値| |は、使ってないので宜しくお願い致します！

回答No.1

info22_

>次の数列の極限値を求めよ。

a_n=2/(-3)^(n-1) (n=1,2,3,…)

lim[n->∞] |a_n|=lim[n->∞] 2/3^(n-1)=lim[n->∞] 6/3^n =0

∴lim[n->∞] a_n =0

お礼

あまり詳しく分からないのですが、同じ問題【数列の極限値を求めよ】で、n^2-1/n^2という問題は、何とか分数を使うじゃないですか。分数式に分数があるやつです。名前を忘れてしまいましたが・・・
そうすると
lim[n→∞]
n^2+1/n^2+n^2/n^2/n^2
で答えが１と出るじゃないですか。
その様にして解答する事は出来ないのですか。分数の中に分数がある式を使って教えて頂きたいのですが、教科書みると絶対値| |は、使ってないので宜しくお願い致します！