フィッティング方法？

質問

ある(x,y)の集合を、次式のような関数にフィッティングしたい場合、係数a～fを算出する方法、アルゴリズムを教えてください。

z(x,y) = a + bx + cy + dxy + ex^2 + fy^2

回答No.3

First_Noel · ベストアンサー

いまちょっと検索してみましたが，見付かりませんでした．
（あまりトライしてませんが・・・）

１，２と３の行列ＡとベクトルＢを求めるところまでは，
手計算で式をぐりぐりします．

簡単な例として，
回帰曲線y(x)=a+bx+cx^2
計測点（xi,yi）
の場合，手順１で，
Ｒ＝Σ（y(xi) - yi(xi))^2
　＝Σ（a+bxi+cxi^2 - yi)^2
これを手順２で，
∂Ｒ／∂ａ＝ 2Σ(a+bxi+cxi^2 - yi)＝０
∂Ｒ／∂ｂ＝ 2Σ(xi×(a+bxi+cxi^2 - yi))＝０
∂Ｒ／∂ｃ＝ 2Σ(xi^2×(a+bxi+cxi^2 - yi))＝０
と言うふうにします．これを展開して，係数a,b,c毎に分け，
a,b,cの係数のかかっていない項を右辺にもってけば，
連立方程式が完成します．

ここまではまず手で式を書いて，それをプログラムに反映させます．

３の連立方程式を解くものは，一番簡単なガウスの消去法とか，
ガウスジョルダン法とか，ＬＵ分解法とかあります，
この辺は数値計算の基本なので，
大概の本に載っていますし，ネット上にもあるような気がします．

こんなものですみません．

お礼

どうもありがとうございます。
とりあえず、これを参考に考えて見ます。

回答No.2

hogehogelucy

(x,y)の集合は大域的に2次曲線になるとわかっているのでしょうか？
局所的でいいなら、ある点列の軌跡（(x,y)の集合に順序が入っている）と思って
ベジュ曲線が使えますが。

回答No.1

First_Noel

最小二乗法で良いですか？

１．残差を求める．
　　Ｒ＝Σ（zi(xi,yi)-z(xi,yi))^2

２．残差を係数で偏微分したものが０，として，
　　係数に関する連立方程式を作る．
　　例えば，∂Ｒ／∂ａ＝０，∂Ｒ／∂ｂ＝０，・・・

３．上を行列で書くと，
　　A(xi,yi) K(a,b,c,d,e,f) = b(xi,yi,zi)
　　となるので，行列Ａの逆行列を両辺に左からかけると
　　係数ベクトルＫが求まる．

補足

どうもありがとうございます。

上記手順をCプログラムで記述したようなwebページ等はありますでしょうか？
あれば教えていただけますでしょうか？