合同式

質問

7x ≡15(mod 17)　

X=75+17Kとなりますか。　　これで正解ですか？

いまいち、納得が出来なくて困っています。

回答No.4

the-theorier

合同式で表記しているんですから、わざわざ任意の整数と思われるKなんぞ持ってこずに、正々堂々と合同式の理屈をもってして解けばいいだけです。
使っているということは、合同式の定義と、最低限の性質位はご存知のはず。

一般的な一次合同式

ax≡b (mod p)
(簡単に法は素数としておきましょう)

が解を持つ必要十分条件は(a,p)＝1であることなので、まずそれを確認しましょう(解答する際はまぁ必要ない常識ですが、またpが素数で(a,p)＝1ならば、解を持ち、加えてその解はmod pにおいてただ一つであることも重要です)。
両数とも小さいので見れば明らかですね(数が大きければ互除法でも何でも使って最大公約数を見つけましょう)。

後は、両辺を(大抵は)順に定数倍し(例えばk倍)、

akx≡bk (mod p)

し、ak≡1 (mod p)となるまでkを増やすなりして試します(簡単に言えば、法pでの、aの乗法における逆元kを求めます)。
そんなkが見つかれば、後はbkを法pで整除しておしまいです。
2倍、3倍…として、法17で1と合同になるものを見つけるんです。

7
14
21
35
…

もうわかりますね？

回答No.3

mister_moonlight

不定方程式の一般解の表し方は、一通りではない。

xとyを整数とすると、条件から　7x＋17y＝15　‥‥(1)　xとyの特別解の一つが(7、-2)であるから、(1)は　17*(y+2)＝7(7-x)と変形できる。
7と17は互いに素から、mを整数として、7-x＝17m、y＋2＝7m　であるから　(x、y)＝(7-17m、7m-2)。

これを(1)に代入すると、確かに成立する。

＞X=75+17Kとなりますか。　　これで正解ですか？

計算には自信ないから断定できないが、計算が違ってないか？

お礼

回答、ありがとうございます

回答No.2

Tacosan

x の係数 7 と法 17 に対して互除法をごにょごにょして, その関係と定数項の 15 をあ～だこ～だすると出る.

あるいは, どうせ 17通りしかないんだから全部やってみる.

お礼

回答、ありがとうございます

回答No.1

alice_44

K が任意の整数を表すというつもりなら、
言葉は足りないが結果は合っている。
K をずらして、75 を 0～16 の範囲に納めると
なお良いように思う。主観の問題だが。

それより何より、何が「いまいち」解らないのか
表現することを試みないと、
回答者が君の痒い所を超能力で言い当てる
可能性は、極めて小さい。

補足

ご返事ありがとうございます
75の数字がどのようにでたのかが解らないので教えて下さい
ちなみにkは1
宜しくお願いします