基本的なことかもしれませんが

質問

微分で使う「限りなく０に近い」という概念がどうにも理解できないのですが、これを何かいい喩えとかで教えていただけないでしょうか？高校の数学は暗記で乗り切りましたが、やっていながらこのことが頭を離れません。

回答No.4

ur2c · ベストアンサー

微分のやり方には Newton 流の極限を使う方法と Leibniz 流の無限小を使う方法があります。「限りなく０に近い」は極限の考え方です。無限小では代りに「どんな数より小さい数」みたいなものを考えます。

今、日本の学校ではほぼ例外なしに極限による方法で教えてます。しかしアメリカやヨーロッパの良い大学では、初年度くらいに無限小を使って微積を教える所が増えています。その方がわかりやすく、計算もしやすいからです。このへんについては、数学史的におもしろい盛衰がいろいろあります。

私も極限による方法では「計算はできるけど、わかった気がしない」という感想でした。大学を卒業してから無限小を使う方法を教わって、やっとわかった気がしました。それによって直観が効くようになり、いろんな計算や証明が楽になりました。特に近似が上手になった気がします。

無限小を使うと楽になる具体例を 1 つだけあげておきます。弾力性の定義を (dy/y)/(dx/x) と、dy と dx をばらして書くことができます。この意味は直観的に明確で、「x が何 % 増えると y が何 % 増えるか」です。極限による方法では dy/dx はまとめて 1 つの記号なので、こうは書けず、(x/y)(dy/dx) とか d(log y)/d(log x) とでも書くしかありません。こう書いてしまうと、式を見ただけで直観的に意味を理解できる人は、ほとんどいないでしょう。

無限小を使う方法はいろいろ知られていて、nonstandard analysis （超準解析）とか smooth infinitesimal analysis とか surreal numbers などがあります。

というわけで、たとえ話を聞くよりも、無限小を使う方法を勉強することをお勧めします。入門書は極限を使う教科書よりは圧倒的に少ないのですけど、だんだんと増えています。これ↓ なんか、いいです。

参考URL：

http://www.amazon.com/Primer-Infinitesimal-Analysis-John-Bell/dp/0521887186/ref=dp_ob_title_bk

お礼

ありがとうございます。無限小を使うテキストをアマゾンで発注しました。

今の生活で必要ではないのですが、一度気になり出すととまらないもので。

回答No.3

statecollege

分数の1/Nを考えましよう。分子は１でなくても、有限の値だったら何でもよいのですが、１が分かりやすいので、1にしましょう。Nを１、２、3、...とどんどん大きくしていきましょう。すると、1/Nは、１、1/2、1/3、...、1/100、...とどんどん小さくなって、０に限りなく近づくことがわかるでしょう。しかし、０になることはありません。Nはプラスの数字ですから、１をプラスの数字で割っても決して０になることはありませんから。何でもよいから、あなたがプラスの数字で0に一番近い数字をあげてみてください。私はNを適当にとることによってそれより小さいプラスの数字1/Nを見つけてみせます。仮に、あなたは1億分の１が0に一番近い数字だと言ったとしましょう。すると、私は、Nとして2億をとり、2億分の１のほうが小さいというでしょう（Nとしては1億より大きい数字であればなんでもよい）。あなたが、1兆分の１が0に近い一番小さい数字だと主張したとします。すると、わたしはNとして2兆を選び、2兆分の１のほうが小さいといいます。このようにあなたが0に近いどんな数字を選んでも、私はNを適当に見つけることによってあなたの主張する1番小さい数字よりさらに小さい数字を見つけることができます。このことを、1/Nはかぎりなく0に近づくといいます。

お礼

ありがとうございます。
少しもやもやが晴れた気がします。

回答No.2

eeb33585

「限りなく０に近い」＝1/∞
「悟りを開く」＝「煩悩を無くす」＝「煩悩」/「修行をいっぱい積む」

いかに修行を積んでも、所詮は人間であって
いくらやっても煩悩を０にはできない。
限りなくがんばっても０に近づきはするが、０にはならない。

お礼

ありがとうございます。

そういう考え方もありだなと思いました。

回答No.1

sanori

こんにちは。

１．
三角形には３つの角があり、それぞれの角度がありますが、三角形の大きさをゼロにすると、角度がなくなってしまいます。
ところが、どこまでも小さくするけどゼロにはしない、という約束をすると、いつまでも角度が同じです。
これは、一次関数の傾きが、直線（線分）の長さがゼロだとわからなくなるけど、限りなく小さくするという考えならば、傾きが温存されることと同じことを言っています。

２．
自動車でスピード違反をしてお巡りさんにつかまった人が、
「時速１４０ｋｍ（１時間当たり１４０ｋｍ）で走ったとあなたは言うが、俺は１時間走っていないから１４０ｋｍは走っていない。だから、時速１４０ｋｍと言うのは間違いだ。」
と主張したとします。
しかし、１４０ｋｍ／ｈ　というのは、瞬間速度です。
ただし、瞬間速度とは言っても、時間をゼロにしたら走る距離もゼロになり、ゼロ分のゼロで、いかなる速さで走っても同じになってしまいます。
これは、時間を非常に短くとったときに、その時間の間に走る距離を短い時間で割ったと考えれば解決します。

お礼

ありがとうございます。

クルマの喩え、分かりやすかったです。