積分の問題です。

質問

大学の数学の問題集の問題がわかりません。

∫√(x^2-2)dx

分かる方、ご助力よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

√内≧0より|x|≧√2
広義積分で考えるとして|x|＞√2とする。

I=∫√(x^2-2)dx=∫(x^2-1-1)/√(x^2-2)dx
=∫(x^2-1)/√(x^2-2)dx -∫1/√(x^2-2)dx
=I1+I2

I1=∫(x^2-1)/√(x^2-2)dx
{x√(x^2-2)}'=√(x^2-2)+x^2/√(x^2-2)=2(x^2-1)/√(x^2-2)
∴I1=(1/2)x√(x^2-2)+C1 (C1は積分定数)

I2= -∫1/√(x^2-2)dx
√(x^2-2)=t-xで置換
t=x+√(x^2-2)
両辺微分
dt=dx+xdx/√(x^2-2)=tdx/√(x^2-2)
dx/√(x^2-2)=dt/t
I2=-∫dt/t=-log|t|+C2=-log|x+√(x^2-2)|+C2 (C2は積分定数)

∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-2) -log|x+√(x^2-2)| +C
(ここで積分定数C=C1+C2)

回答No.4

alice_44

つい最近の既出 http://okwave.jp/qa/q6820858.html で、
ほとんど同じ様な問題が話題になっていました。
旧 A No.5 は、参考になると思います。
定数は異なりますが、解法はそのまま使えます。

回答No.2

Tacosan

積分には「こうすればできる」という方法論はなくって, 極端に言えば「できる人はできるしできない人はできない」という世界だったりします.

で, このように被積分関数が √(x^2-a^2) の形になっていると
x = a cosh t = a(e^t + e^(-t))/2
と置きたくなったりするかもしれません. あるいは 1回部分積分するとか.

回答No.1

nottisan012

積分すると
∫√(x^2-2)dx=∫(x^2-2)^(1/2)dx
=2/3*(1/2x)(x^2-2)^(3/2)+C
=(2/6x)(x^2-2)√(x^2-2)+C
となります．Cは積分定数です．
問題の式の(x^2-2)を1つの塊として考えると解けると思います．