論理パズルの問題(数学的要素あり)

質問

以下の問題の解答が理解できません。助けていただけると幸いです。

問題
4つの整数がある。これらを2個づつ取り出して加えると、A,B,C,D,Eが得られた。4つの整数はなにか。

解答
まずは、組み合わせは6通りだから、一つ重なってる。
そこで、*まずAからEを合計し、それにAからEのどれかを加えたときに、その答えは12で割り切れるはず。

この最後の一文がわかりません。
これはn個の整数を合計したものはnで割り切れるといっているのでしょうか。
しかし、例えばn=2として、1,8を例にあげますと当てはまりません。

回答No.5

noname#159582 · ベストアンサー

すみません。前言撤回。
１２の倍数の理由が分かりました。ただし、最初の質問文では６の倍数になります。

説明を全部書き直します。

４つの整数をw,x,y,zとする。
全組み合わせは、６通りで、その６通りを全て合計すると
合計=3w+3x+3y+3z=3*(w+x+y+z)・・・(1)
ここで、一つの組み合わせの値が同じであることから、
w+x=w+yなどのように右辺と左辺に同じ整数wがある場合、x=yとなり前提と矛盾するため、
w+z=x+yなどの組み合わせのはず。
ここで補足にある27,29,32,35,37から
(w+x)-(w+y)=(29-27)or(35-27)=2 or 8
よって、y=x-2 or y=x-8
x+y+z*w=x+y+x+y=2(x+y)=2(x+x-2)or2(x+x-8)=4(x-1)or4(x-4)
よって
合計=3(x+y+z+w)=12(x-1)or12(x-4)
あとは、面倒ですから省略。

※数学カテゴリの人なら、一発で解くだろうけど

お礼

貴重なお時間を私のためにわざわざ割いて下さりありがとうございました。
お陰さまでやっと熟睡できそうです。

また、他の解答を頂いた皆様も含め、本当に助かりました。
本当は皆様個人個人にお礼コメントを差し上げたいところですが、本日は時間がありませんので、ここに代表してお礼を差し上げたいと思います。
それでは失礼します。

回答No.6

_julius

#1です。

#5の人と同じで，数学的に答えを出すのは至って簡単ですし，確かに結果として12の倍数になるのはその通りなのですが，やはり「１２個の整数の和なので１２で割り切れなくてはならない」という説明は解りません。

4つの整数をa,b,c,dして，最終的な数式を，4つの1つだけを変数とする形にする（式の上で，aかbかcかdの1種類しか出てこないようにする）と，確かに12を括り出せる式になるのですが，それは，答えがたまたま12の倍数であることの反映であって，「１２個の整数の和なので１２で割り切れなくてはならない」との理由から導かれるものではありません。

そもそも，解説において，「A+B+...+EにA~Eのいずれかを加えたものは、12で割り切れるはず」という部分が，解を導くのにどう役に立っているのかが不明で，そんなこと言えなくても簡単に（2分もかからないぐらいで）答えは出せます。
やはり，解説がおかしい，と考えるのが妥当なように思います。

お礼

#5の方に、解答下さった皆様全員に向けたお礼コメントが御座います。
皆様個人にお礼ができないことをお許し下さい。
本当にありがとう御座いました。

回答No.4

noname#159582

私も計算過程で１２で割り切れるようになりませんでした。

一応計算過程を述べます。
４つの整数をw,x,y,zとする。
全組み合わせは、６通りで、その６通りを全て合計すると
合計=3w+3x+3y+3z=3*(w+x+y+z)・・・(1)
ここで、一つの組み合わせの値が同じであることから、
w+x=w+yなどのように右辺と左辺に同じ整数wがある場合、x=yとなり前提と矛盾するため、
w+z=x+yなどの組み合わせのはず。
よって、(1)にw+z=x+yとすると、
合計=3(w+x+y+z)=3(x+y+x+y)=6(x+y)
※よって、６の倍数になりますが、x+yが必ず2の倍数とはなりません。

※ついでに最後の回答まで行きます。
重複している数値をαとすると
A+B+C+D+E+α=6(x+y)
A+B+C+D+E=160だから
α=6n-4
これに当てはまるのは、32のみ。
よって、6(x+y)=192
x+y = 32 = w+z ・・・(2)
よって、32以外は、w+x,w+y,z+x,z+yのいずれかで
29-27=(w+x)-(w+y)=2=x-y　　・・・(3)
(2)(3)を解くと、15,17
29=w+xなどを当てはめると、12,20
答えは、12,15,17,20

もっと、簡単な解き方があるのかもしれません。

回答No.3

OKWaveNo1（@OKWeveNo1）

楽しいパズルだな。

a<b<c<d とすると、
a+b < a+c < a+d = b+c < b+d < c+d …(1)
真ん中が等号となる以外に、和が5個に減る道はない。

で、変数を一つ減らすことが出来たのだ。

式(1)のそれぞれの和を A, B, C, C, D, E とすると、
6つの和 A+B+2C+D+E = 計算してね …(2)
A…Dの和 A+B+C+D+E = 計算してね …(3)

(2)ー(3)を眺めれば、ほら、12の倍数じゃん。

お礼

#5の方に、解答下さった皆様全員に向けたお礼コメントが御座います。
皆様個人にお礼ができないことをお許し下さい。
本当にありがとう御座いました。

補足

ご回答ありがとう御座います。

＞A…Dの和
これはA~Dの意味、すなわちA+B+C+Dの意味でしょうか。

＞(2)ー(3)を眺めれば、ほら、12の倍数じゃん。
大変申し訳ありませんが、ここの部分をもう少し具体的に説明して頂けると助かります。

個人的には、解答頂いた式(2)の答えは、3a+3b+3c+3d=3(a+b+c+d)となると考えます。
ですので、６つの和が"3"で割り切れなくてはならない、というのであれば理解できるのですが、どこから”12”という数字がやってくるのかがわかりません。

解答には、１２個の整数の和なので１２で割り切れなくてはならない、とあります。
このうちの"12"を"2"に変更した場合、例えば1,8を整数の和とすると、この公式はあてはまりません。
ということでこの解答が示す意味も理解できません。

稚拙な文章で申し訳ありませんが、もう少しおつき合い頂ければ助かります。

回答No.2

_julius

回答#1です。

結局，解答では4つの整数は何だとされているのですか？
「1, 2, 3, 4」は問題文の条件を満たすように思いますが，それでは何故ダメなんでしょう？
別に「1, 2, 3, 4」でなくても，問題文から考えると，4つの数のうち，小さい方の2つの差と大きい方の2つの差が同じであれば，整数である必要すらなく，問題文の条件を満たします。
「2,5,8,11」でも「1,2,58,59」でも「1.2, 1.9, 5.6, 6.3」でも何でも。

何だか問題も解説も無茶苦茶な印象です。
質問者様が何か誤解をしているか，問題・解説自体が間違っているか，私が何か勘違いしているかだと思うのですが，どうでしょう。

補足

質問が不明瞭で申し訳ありません。

実際の問題の質問にはABCDEではなく、27,29,32,35,37が挿入されております。
この方がわかりやすいかと思い、記号に置き換えた次第です。ですがかえってわかりにくくなってしまい申し訳ありません。

回答No.1

_julius

説明が少な過ぎて，問題・解説の意図が解らないですが…

「3で割り切れる」ことは確かに言えますが，「12で割り切れる」とは言えないのではないですか？
1,2,3,4という4つの整数は，「これらを2個づつ取り出して加えると、A,B,C,D,Eが得られ」る4つの整数ですが，AからEの合計に，AからEのいずれを足そうと12では割り切れません。

補足

ご回答ありがとうございます。
上記の解説はまだ途中です。申し訳ありません。

解答の流れを最初から最後まで書くとこうなります。

まず、数字が4つなら組み合わせは6つできるはず。(4*3/1*2)
でてきたのがA~Eしかないから、どれか重なっている。
そして、A+B+...+EにA~Eのいずれかを加えたものは、12で割り切れるはず(ここがよくわかりません。解答に書いてある理由を後述します)
そして、Cが重なっていたものと判明する。
つまり、でてきた数時は、ABCCDEの六つ。

そして、最初の数字をabcdと仮定する。aが一番小さく、bcdの順番で大ききなる。なお、A<B<...<E。
とすると、a+b=A, a+c=B, b+d=D, c+d=E
....終了。

前述の理由について。
A+B+...+EにA~Eのいずれかを加えたものは、12で割り切れるはず。なぜなら、12個の整数の和だから。6個の式の和でありいずれも整数だから6で割り切れると考えても良い。と書いてあります。