6÷2（1+2）＝？

質問

「ガジェット通信」 2011年5月6日より

「6÷2（1+2）＝？」という小学生レベルの問題？　大勢の人が「１」と答え半分以上が不正解

http://getnews.jp/archives/114382

私も最初は１と答えました。正解は9ということです。
小学生レベルの問題に間違うとは・・・と落ち込んだのですが・・・
やはり1で合っているような気がしてなりません。

本当の正解はなんでしょうか？

回答No.30

boiseweb · ベストアンサー

#22です．たびたび失礼します．

「9が正解」と主張する重要な前提の一つは『「×」と「÷」は代数的優先順位が同一であり，それゆえ左から順に解釈するのが正しい」ですが，この前提にはどの程度の「妥当性」というか「説得力」があるでしょうか．私は，この前提の説得力はものすごく弱いと思います．

割り算の記号「÷」がユニバーサルな数学記号ではなく，世界では「÷」を常用する地域の方が少ないことはよく言われています．その少ない地域のひとつである日本でさえ，学校の授業で「÷」を使うのは小学校算数までで，中学校以降では急速に分数形式の記法に移行して「÷」は遠のけられます．
日本の小学校算数で「÷」を使っているのも，代数の体系の一部というより，慣用として使われている割り算の表記法を教えるという程度の意味しかないように，私には思えます．

そのような，しょせん「方言」程度のローカルな慣用記号である「÷」について，『他の演算記号と混用したときの優先順位をどこに位置づけるべきか』という問い自体がそもそもナンセンスで，それをどのように規約しようとも，そんな規約は数学のユニバーサルなルールにはなり得ません．
それに，「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った式というのは，そもそも難解というか「醜悪」なものです．そして，その醜悪さは，演算記号の優先順位づけで対処するレベルのものでなく，最悪でも「括弧を使う」ことで，そして理想的には「分数形式で書く」ことで根本的に解決すべきです．

それでは，なぜ（少なくとも日本の小学校算数で）「÷」は「×」と同順位というルールが存在するのか，また，その根拠は何か？
私の考えは「小学生に複雑な式の計算練習をさせるための『方便』あるいは『必要悪』」です．

「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った（実用性の観点からは劣悪な）式をあえて書いて，演算記号の優先順位の規約だけを頼りに解釈して計算することの意義として，私がただ一つ納得するのが「小学生の計算練習」です．小学生に複雑な式の計算を反復練習させる目的で，あえて複雑な式を作るために「÷」を組み込みたいが，そのためには「÷」の優先順位を規約する必要がある，ということで，方便として『「÷」は「×」と同じ優先度』という無難な規約を設けて，小学校算数ではその規約で統一した，という程度の問題だと，私は考えます．
言ってみれば，「÷」の演算優先順位が解釈に影響するような式自体が「しつけ箸」とか「幼児用自転車の補助輪」としての値打ちしかなくて，トレーニングという目的を達した段階で，演算優先順位の規約もろとも捨て去るのが順当，というのが，私の考えです．中学校数学で「÷」を脱却して分数形式に移行する理由も，そういう流れで理解すべきでしょう．

6÷2（1+2）を「1」と答える，あるいは「数式そのものがあいまいだ」と文句をつけるのは，正しく「補助輪」を捨て去った大人としての自然な態度であって，恥じる必要はないと思います．
むしろ，「9が正解」と主張して「1」と答えた人を笑う大人のほうが，「補助輪つき自転車」にしがみついて離れられない「みっともない大人」のように思えます．

お礼

私も遠い記憶では、数学を習った瞬間に今まで抱えていた算数の煩わしさから一気に解放された覚えがあります。
この問題は÷という算数的表現を使うなら×の省略という数学的表現を用いるべきではないでしょう。
算数的表現と数学的表現を混合することで意図的に惑わす「醜悪」な数式といえるのかもしれません。

ただ、No.21さんの紹介サイトにもありましたが中学数学では÷という表現が使用されているようです。
http://math.005net.com/yoten/sikinok2.htm
（といっても私自身現在の中学数学事情に詳しいわけではありません）

この記事自体も「算数も分からない大人が多い」みたいに悪意を感じますが、それゆえにこうして楽しみながら反論し思わぬ理解を深める機会になっているのかもしれません。
回答ありがとうございました。

回答No.33

Knotopolog

回答数が異常に多いので，不思議に思い覗かせて頂きました．
案の定，またか・・・．と思っております．

この類の議論が，ときどき発生するのは，四則演算としての，＋，－，×，÷，（　，），＝　を含む式に関する記述法の「定義」が確定していない事が原因であると考えます．

「乗除を優先する」などというルールや，×を省略してはいけないなどの約束事は一応ありますが，これらは，演算規則の定義として明示されているのを見たことがありません．これらのルールは，曖昧であり，不完全であり，また，非常に分かりにくいと思います．

私の勝手な所見では，一般に認められていると言う「乗除を優先する」というルールが悪いとみます．このルールが人々には曖昧に受け取られていると感じます．

6÷2（1＋2）を，(6÷2)(1＋2) と考える事には，人間の視覚に訴えている限り，無理があると思います．なぜならば，6÷2（1＋2）の式を見ると，2（1＋2）が，ひとかたまりに見えるからです．それ故，6÷2（1＋2）の答えを１とする人々が多いのでしょう．実際は，6÷2（1＋2）＝(6÷2)(1＋2)　なのでしょうが，間違いを起こす人が多いと言う，6÷2（1＋2）＝6÷（2(1＋2)）に改めるべきなのです．

算数でも，数学でも，人間の視覚，直感に沿った分かりやすい定義・規則が必要であると考えます．そう言う「定義」が存在しないために混乱がたびたび発生し，また，今後も同様のことが起こるでしょう．困ったものです．私は，このＯＫＷａｖｅで，何度も，＋，－，×，÷，（　，），＝　を含む式についての疑問を取りざたしている場面を拝見しています．

実際問題として，全て，「括弧でくくる」というようなルールが実行されれば，問題はありません．小学生レベルの問題以外の数学の世界では，×や÷は使用しませんから，こういう問題が発生しないのは周知の通りです．
このような質問が提出されるたびに，多くの有能な方々が，この問題に関わり無駄な時間を費やしているのが気がかりで，残念です．質問者さんが悪いと言うのではありません．むしろ，この様な曖昧性を含む問題が発生することに対して，日本の社会，この種の問題を扱うべき関係者，などが真剣に再考していないという現状を憂いています．

小学校からの教育を受けてきた筈の大人達が，これほどの混乱，議論沸騰，様々な意見，などが噴出すると言うことは，この背景に，一体，何があるのだろうか？？　という疑問が，どうしても，頭に浮かぶのですが・・・．

お礼

このカテゴリーでは散々出尽くした議論だったんですね。
失礼しました。
ただこれだけの回答があるということは、まだまだ疑問に感じている方が多いということだと思います。

蒸し返すようで恐縮ですが「実際は6÷2（1＋2）＝(6÷2)(1＋2)です」とありますが
であればa÷b（c＋d）＝(a÷b)(c＋d)となりませんか？
それとも数字の場合とアルファベットの場合では計算方法が違うのでしょうか？

この質問で多くの有能な方が無駄な時間を費やしているとすれば、大変申し訳なく思います。
ただ、このような質問を通すことによって数学の興味も深まるのではないでしょうか？
（それとも、このレベルは数学ではない？）
入試勉強に勤しんでいる学生には無駄なだけかもしれませんが、数学の授業から何十年と離れていた
私のようなものには再度数学に親しむいい機会だと思っています。
回答ありがとうございます。

回答No.32

nantokasensi

なんか焦点がずれてませんか？
2(1+2)の「×」を省略できるかどうかが問題じゃないですか？
6÷2a
と文字に対して「×」を省略したからといって、
これを、
(6÷2)×a
と解釈する奴なんかいないでしょう？
理由はともかく、2aは(2a)でセットになってるのは、教育されているので誰でもわかる。（あとになっっておかしいと思っても。）
でも、数字と数字のときは、省略できないと習った気がする。
ここを明確に断言できる人が、ほとんどいないようなので、いつまでも解決できないですが、
2aと2(1+2)を一緒にするのは、まだ、不明なはず。
一緒にできるかどうかすらわからない。
6÷2aと文字を含める話は、今のところ、次元の違う話だと思う。

お礼

2(1+2)という表記が正しいかどうかということですね。
ただ、2(x+2)とかx(1+2)という表記はあるわけです。
23と表記して2・3の意味とするのは無理がありますが2(1+2)はそれほど無理があるとは思いません。

2(1+2)という表記が絶対認められないのであれば、「問題として成立していない」で片付けられますが
認められる余地があるのであれば、2(1+2)は優先して計算するべきだと思うのです。

この問題は当然ながらこの数式が「数式として成立している」ということを前提に出されているのでしょうから、なおさら答は１のような気がしてなりません。

回答No.31

R_Earl

ANo.8, ANo.13です。

ANo.29の方へ

> A No.8 に衝撃を受けています。
> そうなんでしょうか？

こんな感じで教えられています。
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page038.html

> A No.8 の情報が正しいとすると、
> 「×」を省略した掛け算と「÷」とで
> どちらの結合順位が高いのか、
> 中学で教えてないとオカシイことになりますが、
> 中学では、どう教えているのでしょうか？

中学の教師ではないので詳しくは知りませんが、
多分教えていないと思います。
割と説明が載っている中学数学用の問題集にも、
省略されたかけ算の優先順位については書いてなかったと思います。
半ば暗黙の了解のようになっている気がします。

12ab^2 ÷ 2ab × 6bのような計算問題では、
単項式で区切って
(12ab^2) ÷ (2ab) × (6b)
と解釈して計算する事になってます。
しかも÷と×の優先順位が同じなので、
左から順に計算して36b^2と答えないと正解になりません。
(12ab^2) ÷ ((2ab) × (6b))と解釈して
1と答えると不正解になります。

優先順位が同じ÷と×が並んだ時は左から計算するというルールは
守られているのに、かけ算が省略された部分に関しては
それが成り立ってないんです。
なので積の記号が省略されている部分は、
÷よりも優先順位が高いと思っているのですが…。

もしかしたら日本の中学数学限定のローカルルールかも知れません。

お礼

＞積の記号が省略されている部分は、÷よりも優先順位が高いと思っているのですが…。
私もそうだと思います。
回答ありがとうございます。

回答No.29

alice_44

A No.8 に衝撃を受けています。
そうなんでしょうか？

つい先日も、このサイトで類似の質問を見かけて
回答したのですが、私の考えとしては…

「÷」は、算数の記号で、数学記号ではない。
算数の式としては、「×」を省略する記法は無い。
「6÷3a」のような記法が一貫しない式を書くならば、
それが 6÷(3a) なのか (6÷3)a なのかを含め、
式が何を意味するかを明確に定義する責任は、
式を書いた者にある。出題に答える者にではなく。
よって、この問題に「正解」は無く、出題不備。

…というものです。
A No.8 の情報が正しいとすると、
「×」を省略した掛け算と「÷」とで
どちらの結合順位が高いのか、
中学で教えてないとオカシイことになりますが、
中学では、どう教えているのでしょうか？

また、そこで教えられている内容は、
数学として容認し得る範囲のものなのでしょうか？
さて…

お礼

むむむ・・興味深いです。
No.21さん紹介の中学校の数学サイトには 20ac÷5ac みたいな数式がありますね（実際は階乗あり）
http://math.005net.com/yoten/sikinok2.htm

今の学校がどう教えているか詳しくないですが、おそらく6÷3aは3aの部分が優先。
×が省略されている部分が優先だと思います。
という意味でも私は2(1＋2）が優先だと思うのです、やはり。

回答ありがとうございます。

補足

お礼の２行目の()内間違っていました。失礼しました。
×実際は階乗あり→○実際は２乗、３乗あり

回答No.28

kenjoko

No.２６です
＞２＋３×２＝８を１０と答えたあんたは偉い。演算は左から順番にやるべきであって・・・

あなたが先生だと私の人生も変わっていただろう。

＞何故乗除が先になったのか理由がわからない。
規則、決まりだそうな。

バカボンのパパに言わせると「これでいいのだ」というところでしょうか。

＞多分、足し算、引き算より乗除算が高級なので、重くなって、
その演算を重視した結果、さきに計算することになったのだろう。

２＋（３×２）＝８　において、掛け算を先にする場合、
「（３×２）のカッコは省略してもよい」と私は理解しています。

＞ここのところは、規則に従うしかない。

　　　　　　「数学に王道なし」

お礼

そうですね。回答ありがとうございます。

回答No.27

noname#171582

２＋３×２＝８を１０と答えたあんたは偉い。
演算は左から順番にやるべきであって

何故乗除が先になったのか理由がわからない。
規則、決まりだそうな。

多分、足し算、引き算より
乗除算が高級なので、重くなって、
その演算を重視した結果、さきに計算することになったのだろう。

ここのところは、規則に従うしかない。

お礼

乗除が先なのは 2x＋3/y のように数学への道筋のためですかね。
このルールについては別に機会に調べてみたいと思います。

それにしても、やっぱり2(1＋2)を先にすべきだと思うんですけどね～
回答ありがとうございました。

回答No.26

kenjoko

結論から言いますと、出題者が要求した解（それが不正解であっても）が答えになります。
このような問題では解答者の解釈などはまったく無視されます。残念ながらこれが現実です。

もし、これが文章題であれば、
「女子一人、男子二人のグループが二組あり、６個の団子を公平に分けると一人当たり何個もらえるか」
というような問題であれば、
6÷{2×（1+2)}・・・小学生、6÷2（1+2)・・・中学生、等の式を立てて答えは１となります。

私のような愚者には6÷2（1+2)=9となるような文章題は、なかなか思いつきません。

No.１２さんの
＞何故ルールなのですか？と聞いた憶えがありますが、その時に先生は「調べてみるから、先生の宿題にしてね」と結局うやむやになってしまいました。

私も小４のころ同じ経験があります。
　　２＋３×２＝８を、私は１０と答えました。先生の説明では「掛け算、割り算を先にやり、足し算、引き算は最後にやる」とのことでした。
「なぜ」と聞くと「きまりだ」といいました。さらに、なぜそのようなきまりになったのかと聞くと頭を一発ガン！
その後も私は「きまり」を守らず、混合算でず～っとペケを食らい、親まで学校によばれ「ばか」のレッテルまで貼られました。それでも数学（算数は）嫌いにはなりませんでした。

あれ、話が横道に・・・ごめんない。

お礼

う～ん、出題者が要求したものが正解なのでしょうか。
国語などと違って数学の場合、真実はひとつだと思うのですが・・
そういう意味でこの問題は数学の問題ですらないということでしょうか。
私としては2(1＋2）を先に計算すべきというのが頭に残ってまだ納得できません。

「何故ルールなのか？」は興味深いですね。別の機会に調べてみたいものです。
こういうところをつまらない、面倒くさいと思うのか、面白い、不思議だと思うのが
数学（算数）を好きになるかどうかの分かれ目だと思います。
私も算数も数学も苦手ですが好きでした。この年になっても急に数学熱があがることがあります。
回答ありがとうございました。

回答No.25

noname#171582

そう言えば、ここの掲示板でも

6÷2（1+2）＝？
に似た質問が出たとき

（6÷2）（1+2）＝？
の意味か？

6÷｛2（1+2）｝＝？
の意味か？

と質問者に問い直す回答者がよくいるわ。

回答が違ってくるのでそうなる。

お礼

なぜ二通りの解釈がでるのでしょうね？
数字を全部アルファベットに置き換えれば答はひとつのような気がします。
a÷b（c+d）とあるとき、いちいちa÷｛b（c+d）｝のことですか？とは聞きませんよね。
回答ありがとうございました。

回答No.24

noname#148625

No.4です。

何人か知り合いで数学関連（教師だったり塾講師だったり）に意見を求めましたが、やはり「問題がおかしい」とのこと。
というのは「数字×数字で×を省略したら絶対にダメ」ということです。

理由を聞くと「じゃ、『10→1×0=0』なのか？」だそうです。
つまり仮に認めると2桁以上の計算式でそれが○桁の数字なのか、1桁ずつ掛け合わしたものを表しているのか、判断できなくなるとのこと。
質問の例題もタマタマ（というか意図的に？）1桁しか扱っていないから一見正しいように思え9と結論付けもできるるが、もしこれが「6÷20（1+2）」だったら誰も「0(20→2×0だから）」なんて答えない、だそうです。

お礼

「数字×数字で×を省略したら絶対にダメ」これで結論付けできそうですね。
要は2（1+2）、この表記がどちらとも取れる曖昧で数式としてふさわしくないものとなのでしょう。
ただ2（1+2）は見なくても、2（x+2）は見ますね。
どこかに代数が入っていればいいのでしょうか？
回答ありがとうございます。

回答No.23

nantokasensi

すごい回答数ですね。
私にとって、この問題のネックは、2（1+2）の部分について、掛け算の記号が省略されているけど、正しいのか？ということでした。
これについて指摘している人が少ないですね。
2×（1+2）の「×」が省略されている、ということを認めてしまえば、答えが９になるのは、間違えようもなく、引っ掛け問題でもないですね。
多くの人が間違えやすい素直な問題、ということになると思います。

で、話を戻して、「×」の省略は本当に正しいのか？ということなのですが、これについて明確に回答されている人がいないようです。（見落としてたらすみません。）

数字と文字のときは省略可能、
（例）　2×a　→　2a
文字と文字のときは、省略か「・」で書く。
(例）　a×b　→　ab　または、a・b
数字と（文字式）のときは、省略可能
(例)　2×(A+2)　→　2・(A+2)　または、2(A+2)

ここからが不明
数字と数字で「・」が可能か？
(例)　2×3×4　→　2・3・4
時々見かけることもあるけど、正式に正しいのかどうか。
しかし、もともと「×」の記号を使う前は、「・」が掛け算の記号だったらしいので、許されるのかもしれない。

で、疑問の2(1+2)のような省略。
2(A+2)の下記からがいいのなら、Aを1に置き換えた、2(1+2)もいいのではないか？
じゃあ、極端に、先にカッコ内を計算した、2(3)という書き方もいいのか？
ということになるけど、とても不自然な気がする。

回答者がここで、質問をしてしまうのは、ルール違反なのでしませんが、専門家の方がいたら、正しいのかどうか、こっそり書いてほしいですね。

とりあえず私の回答は、掛け算の省略が正しければ、９しかない。

お礼

2（1+2）の表記が正しくないのであれば、問題が成立していないという結論で済むと思います。

この表記を認めて掛け算記号の省略と考えれば、答は９でしょうか？
6÷2aとすれば2とaの間は×が省略されているわけですが
6÷2a＝6÷2×aではないと思います。

回答ありがとうございました。