ＲＣ直列回路の過渡現象に関することで

質問

コンデンサの放電のときに関する質問なんですが。
その時のコンデンサＣに蓄えられている静電エネルギーの減少割合と抵抗で消費させる電力は等しい場合の電荷の微分方程式。

を調べているんですけどなかなか見つからないんです。
いろいろと見てはいるんですが今ひとつ確信がないので
誰か教えてください。
（こんな、ＨＰがあるとかでもいいです）

回答No.3

Teleskope · ベストアンサー

質問の文章に沿った形の回答；

>>コンデンサＣに蓄えられている静電エネルギー

コンデンサのエネルギＥは
　　　　Ec=(1/2)CV^2
これに
　　　　Q=CV　→　V=Q/C
を代入すると
　　　　Ec= (1/2)Q^2/C

>>の減少割合

Ecを時間微分する
　　　　dEc/dt=(1/2)(1/C) dQ^2/dt
　　　　　　　=(1/2C) dQ^2/dQ dQ/dt
　　　　　　　=(1/2C) 2Q dQ/dt
　　　　　　　=(Q/C) dQ/dt

>>抵抗で消費させる電力

　　　　Er=i^2R

電流と電荷の関係は
　　　　i=dQ/dt　　　電流の定義

を代入すると
　　　　Er=(dQ/dt)^2 R

>>電力は等しい場合の

ErとdEc/dtが等しいと置くのだが、エネルギは、
コンデンサの方は減少し、抵抗の方は増加（熱に変わって溜まる）なので
　　　-(Q/C) dQ/dt = (dQ/dt)^2 R
よって
　　　　dQ/dt = -Q/(CR)

>>電荷の微分方程式。

お礼

助かりました。
かなり、参考になりました。
調べた本にも途中までは記載されていたのですが、それ以降はなかなか、ないのでほんとに助かりました。

回答No.2

Teleskope

>>コンデンサの静電エネルギの減少と、
>>抵抗が消費する電力が等しい

　これはつまり、
エネルギがＣから出てＲで消える（散逸する）
のだから下図の電気回路と同じです。

┌──┐
│　 　 │
Ｃ　　 　Ｒ
│　 　 │
└──┘

Q=CV　の式を使う方法を書きます。

上図の放電の式はどんな本にも載ってると思うが、
初期電圧を適当に Vo として

　　　　　V = Vo exp(-t/τ),　　τ=CR
ゆえに
　　　　　Q = CV = CVo exp(-t/τ)
時間微分
して　　　dQ/dt = CVo exp(-t/τ) (-1/τ) = -Q/τ

以上。

お礼

助かりました。
参考にさせていただきます。
調べた本にも途中までは記載されていたのですが、それ以降はなかなか、ないのでほんとに助かりました。

回答No.1

LCR707

こんにちわ。ちょっと風変わりな問題ですね。
　微小時間δtに変化するコンデンサの静電エネルギーを δEc、抵抗で消費するエネルギーを δErとすると
　δEc = VδQ = (Q/C)δQ
　δEr = (V^2/R)δt = (Q^2 / RC^2)δt
エネルギー保存則より
　δEc + δEr = 0
なのでこれを整理すると
　dQ/dt = -Q/(CR)
になります。

お礼

助かりました。
かなり、参考になりました。
調べた本にも途中までは記載されていたのですが、それ以降はなかなか、ないので助かりました。