三角関数の問題です。

質問

数学の模試の問題で一部わからないところがあるので、教えてください。
問題は（１）（２）（３）まであるのですが、（３）のみ記述します。（他は絶対いらないので）

sin2θ+2sinθ＝k(1+cosθ）・・・・・・（＊）

（３）（＊）が相異なる3個の解をもつとき、最小の解をαとする。このとき、sin２αを求めよ。

という問題なのですが、誘導によって、kの範囲が　－２＜ｋ＜０、または０＜ｋ＜２
となりました。

当然、２パターンに場合わけして解きますが、－２＜ｋ＜０のときの場合、

－１＜（ｋ/2)＜０ですので、最初のαはπにはならないと考えたのですが、
河合塾の回答を見ると、αはπとなっています。

なぜか教えてください。（できれば解答と途中も）

参考程度に答えは　　
０＜ｋ＜２のとき　｛ｋ√（４－（ｋ＾２））｝/２
－２＜ｋ＜０のとき　０

お願いします

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#4です。
ようやく、光が見えましたね。＾＾

＞という事は、２つ目の場合わけにおいて、
＞sinθの方はどう頑張ってもπより大きくなるから、最小なのはcosθの方のπ
そういうことです。
「どう頑張っても」。そういう感覚、個人的には好きですね。＾＾

で、緑の左側の角度ですが、
x軸の正の方向となす角は α-πになっています。
2πからα-πだけ戻ったところになるので、2π-(α-π)＝ 3π-αが正しい値です。
間違ったまま、図も描いてしまっていました。

お礼

回答ありがとうございました
参考になりました

とてもすっきりしました。感謝してます。＾＾

回答No.8

kenjoko

＞誘導によって、kの範囲が　－２＜ｋ＜０、または０＜ｋ＜２となりました。
このとき、どんな誘導がなされたのでしょうか。

＞このぐらい「自分でわかりませんか？」今までの回答者への再質問等から察っして下さい。

誘導なしでも、分かったよ（sin2θ-k)(1+cosθ）=0

　(1+cosθ）=0　　θ＝π　と相異なる3個の解をもつときから　sin2θ=0

＞自分で理解できないなら、おそらくわたし以下の学力ですので、回答しないほうがいいかと思います。（失礼ですが、事実ですので。）

そんなに学力を自慢するのなら人に聞くな。
私は自分なりに考えて意見を求めただけだ、参考にならなければ無視してもいいが、人を頼っている者がえらそうなこと言うな。

sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）となりますね・・・(1)
＞この式は、意味不明ですが、

おい、お前ほんとに解けたのか、この形に変形出来なければ

（sin2θ-k)(1+cosθ）=0　　の式は作れないだろう。

sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）＝０　の解は０≦θ＜２πで
θ=0,π,3π/2しか考えられないのですが

＞この記述で自分はこの質問に答えられませんと言っているようなものですね（＾＾）

人を笑うなら自分で解け、私はよほどのことがない限り、人に聞いたことはない。

お礼

回答ありがとうございました。
そうですね
少し偉そうでしたね。ごめんなさい。
では、さよなら。

回答No.7

kenjoko

＞sin2θはサイン２θです。

＞また、（１）、（２）、（３）はそれぞれ独立した問題です。

であれば、sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）となりますね・・・(1)
これから、ｋ＝2sinθとなりますが

＞誘導によって、kの範囲が　－２＜ｋ＜０、または０＜ｋ＜２となりました。
このとき、どんな誘導がなされたのでしょうか。

ｋ＝2sinθならば-2≦ｋ≦2となります。

＞sin2θ+2sinθ＝k(1+cosθ）
この式も不要となる。

sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）＝０　の解は０≦θ＜２πで

θ=0,π,3π/2しか考えられないのですが、質問者及び回答者の方々のご意見をお聞かせ下さい。

当然、最小のαは0、このとき2sinα=0となりました。

お礼

回答ありがとうございました。

残念ですが、もう解決しました。

誘導によって、kの範囲が　－２＜ｋ＜０、または０＜ｋ＜２となりました。
このとき、どんな誘導がなされたのでしょうか。

このぐらい「自分でわかりませんか？」
今までの回答者への再質問等から察っして下さい。
もし、自分で理解できないなら、おそらくわたし以下の学力ですので、回答しないほうがいいかと思います。（失礼ですが、事実ですので。）
であれば、sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）となりますね・・・(1)
この式は、意味不明ですが、
sin2θ+2sinθ＝2sinθ(1+cosθ）＝０　の解は０≦θ＜２πで

θ=0,π,3π/2しか考えられないのですが

この記述で自分はこの質問に答えられませんと言っているようなものですね（＾＾）

回答No.6

kenjoko

確認します

sin2θはサイン２θのことですか、それとも（sinθ）^2のことですか.

また、（１）、（２）、（３）はそれぞれ独立した問題ですか。

お礼

sin2θはサイン２θです。

また、（１）、（２）、（３）はそれぞれ独立した問題です。
ちゃんと記述しましたが？

回答ありがとうございました。

回答No.4

naniwacchi

#3です。

＞まず、sinθ＝ｋ/2が2つの解を持つようなθはπ＜θ＜2π（今話題としている所では）
＞（－１＜ｋ/2＜０　なので）
＞これを満たすような最小角αを求めるわけですよね？？

いいえ、満たしているのは「もとの方程式：sin2θ+2sinθ＝k(1+cosθ）」です。
αは、あくまでもこの方程式の解で最小となるものを指しています。

・1+ cosθ＝ 0より得られる解 1個（θ＝π）と
・2* sinθ- k＝ 0より得られる解 2個
を合わせた計 3つの解について、最小となるものをαとしているのです。

お礼

回答ありがとうございました”！！＾＾//

という事は、２つ目の場合わけにおいて、sinθの方はどう頑張ってもπより大きくなるから、最小なのはcosθの方のπ

と言うわけですか？

補足

図の緑のところは

2πーα　ですよね？？

回答No.3

naniwacchi

#1です。
補足ありがとうございます。

で、納得できないところですが。
＞なぜ　最小の角αは πなのか　疑問です。πでは　ｋ＝０になってします気がして・・・
「θ＝π」という解は、1+ cosθ＝ 0から得られている解ですよ。
2* cosθ- k＝ 0の解については、「θ＝πという解はもたない」ように kの条件を求めたはずですよね？

#1での
＞「相異なる3個の解をもつ」ので、
＞2* sinθ- k＝ 0から「θ＝π以外の」残り 2つの解が得られるはずです。

まさに、この部分です。（「　」まで付けておいたのですが ＾＾；）
やはり図があった方がいいのかもしれませんね・・・。

お礼

回答ありがとうございました

補足に、完全なる理解のため恥さらしをしておきました

補足

ほんとうに申し訳ありません
まだわかりません。

わかるところまで書きます。

まず、sinθ＝ｋ/2が2つの解を持つようなθはπ＜θ＜2π（今話題としている所では）
（－１＜ｋ/2＜０　なので）
ここまではわかります。
ここからは、頓珍漢なことを多分言います。
これを満たすような最小角αを求めるわけですよね？？
ってことは、naniwacchiさんが用意してくださった図を参考にすると
最小角は－１＜ｋ/2＜０　に注意するとπ＜α＜（２/３）πの中に存在する

と思い込んでいます。もしα＝πとすると単位円状のθ＝πのところにくるのでは？？
面倒かもしれませんが、どうか付き合ってください

回答No.2

Tacosan

ん～....
「(α =) πでは　ｋ＝０になってします気がして」というのは, 単なる気の迷いです. そんんなわけがありません.

逆に, どうしてそんな気がするのですか?

お礼

回答ありがとうございました

変な勘違いを私はしていると思うので、補足を見てみてください

補足

私の考えでは、

α＝πのときつまり、sinπ＝０＝ｋ/2
　　　　　　⇔ｋ＝０

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
一見ややこしそうですが、式をまとめられれば標準的な問題ですね。

まず確認ですが、θは 0≦θ＜ 2πといった条件がありますよね。
上の条件で合っていますか？

「誘導」の中身はわかりませんが、方程式を変形すると
(2* sinθ- k)(1+ cosθ)＝ 0

と因数分解できてしまいます。
そして、解の一つはθ＝πとなります。

「相異なる3個の解をもつ」ので、
2* sinθ- k＝ 0から「θ＝π以外の」残り 2つの解が得られるはずです。
そのためには、-2＜ k＜ 2 かつ k≠ 0でなければならないことになります。
（ここまでは質問でも書かれている内容ですね。）

単位円を描いて、直線：y＝ k/2との交点を考えてみます。
（ここはしっかり描いてみてください。そんなに難しい図でもありませんから）

この交点を与える角度が残りの解になります。
(i) 0＜ k/2＜ 1のとき
直線は x軸よりも上にあり、解を与えるθは 0＜θ＜πとなります。
よって、最小の角αは 0＜α＜π/2であり、cosα＞ 0となります。
（他の 2つの解は、π-α、π）
sinα＝ k/2となるところから、cosαは求められますし符号も上からわかりますよね。

(ii) -1＜ k/2＜ 0のとき
直線は x軸よりも下にあり、解を与えるθは π＜θ＜ 2πとなります。
よって、このときの最小の角αは πとなります。
ちなみに、3つの解を大きさ順にかくと、π、α、π-αです。

お礼

回答ありがとうございます

まだ納得できません。
なぜ　最小の角αは πなのか　疑問です。πでは　ｋ＝０になってします気がして・・・

補足

ごめんなさい
まず確認ですが、θは 0≦θ＜ 2πといった条件がありますよね

はい。あります。すいません！