円錐を水槽に少し沈めるとどうなるのか

質問

自分は高校生なのですが、円柱を水槽に沈めると、浮力と重力によって単振動することは高校生でも計算で求めることが出来ます。そこで、気になって円錐を尖っている方を下にして水に沈めるとどの様な運動をするのか計算しようとしたのですが、とても高校生では解けないような微分方程式が出てきました。wolfram alphaなどで入力してみたところ、カオス理論で出てくるようなよく分からないグラフが出てきてますます混乱しています。実際のところ、円錐を水に沈めるとどの様な動きをするのでしょうか？ぜひ、詳しい人、教えてください。

あと、球などでの計算結果も分かる方がいたら教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

なかなか難しい問題ですね。
それにしても、高校生でカオス理論を勉強してるんですね。＾＾

できれば、計算してみた内容を書いてもらうといいと思うのですが、
自分でもちょっと計算してみました。
運動方程式は、以下のように書き下せました。
d^2h(t)/dt^2＝ g* ( 1- {h(t)}^3/(h0)^3 )
（h(t)：水面から下にある円錐部の高さ、t：時間、g：重力加速度、h0：ついありの位置での高さ）

ちなみに、h0は
円錐全体の高さ：H、円錐の密度：ρ、水の密度：ρ0として、次のようになります。
h0＝ H* (ρ/ρ0)^(1/3)

確かにこのままで解くには数値計算しないと求められないような気がします。
そこで近似を考えてみました。
h(t)＝ h0+ f(t)　（ただし、f(t)<< h0である）とします。

これを上の微分方程式に代入して、f(t)/h0の 2次以上は非常に小さいので無視すれば
d^2h(t)/dt^2＝ - 3g* h(t)/h0

という式になります。
つりあいの位置から非常に小さい範囲であれば、単振動と考えられるかと思います。

で、こんなシチュエーションってあったかなあ。と考えてみると、
釣りの「うき」が近いのかなと思いました。
間違っているかもしれませんが、参考になれば幸いです。