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10種類のドーナツから3つのドーナツを選ぶ
こんにちは。 組合せの問題で、10種類のドーナツから3つのドーナツを選ぶと何通りか? 調べていくと、公式H 組合せCを使えば、 n+r-1Cr の公式に代入し、13C3=220通りと出ますが、 意味がよくわかりません。 仕切りを使い考えるとよいと思いますが、どのように考えるとよいのかを 教えてください。
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僕は高校のときこう解釈しました。 この問題で当てはめて説明すると、まず縦9横3のマス目を書いてください。 結論から言うと一番左下頂点から一番右上の頂点までの最短経路の数に等しいことになります。 まずこの図では10本の横線がありますがこれが10種類のドーナツに対応します。下からドーナツ1、ドーナツ2、…、ドーナツ10と名前をつけることにして、貴方は今一番左下頂点にいます。 まずドーナツ1を何個選ぶか決めます。0個なら↑、1個なら→↑、2個なら→→↑、3個なら→→→↑と進みます。これを繰り返して最後に一番右上に行けばいいのですが、左や下への後戻りはダメです。右には合計3回しか進めません。このことはドーナツを3個だけ選ぶことに対応しています。 したがってこの経路の選び方とドーナツの選び方の総数は等しいことがわかります。 あとは、最短経路の問題です。テキストとかに乗ってると思うので確認してみてください。
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- Willyt
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>異なる10個のものから異なる3個を選ぶならば、10C3で120になりましたが。 ですから、選んだ3個は同じものがないなら10個と同じですよね。既に選んでしまったドーナツは何個あってももう選ぶことができませんから2個以上あっても1個と同じです。もし同じものが混じっていいなら、これはちょっと複雑になります。2個が同じものは同じものを10通り選べます。そして残りは9通りですから90通り。3個とも同じならこれは10通りですよね。全部を足し合わせると220になりますね。
- nag0720
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仕切りを使って考えるなら、 nHr=(n+r-1)Cr より、 nHr=(n+r-1)C(n-1) で憶えておくほうがいいでしょう。(両方とも同じ値になります) 10種類のドーナツから3つ選ぶ場合は、 「ドーナツ3つを並べておいて、その間に仕切りを9本入れて10個の領域に分ける」 と考えれば、3+9個の中から9個選ぶことと同じなので、 12C9 となり、 12C9=12C3=220 となります。
お礼
仕切りを9本として10に分ける考え方が。 ありがとうございます。
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
これはまず、3つのドーナツが必ず違ったものという前提が必要になりますから、その前提で・・・ まず、3つのドーナツの選び方は10×9×8=720通りあることはすぐに分りますね。ところがその中には組み合わせが同じで順番だけが違っているものが混じっています。求めるドーナツの選び方一つを採ってみると、その一つに対し、順番が違う組み合わせが3×2×1=6通りあることがわかります。そうすると求める組み合わせは720を6で割った120通りというのがその答えになります。
補足
早々にありがとうございます。10個とは記載なく、10種類とありました。 異なる10個のものから異なる3個を選ぶならば、10C3で120になりましたが。
お礼
ありがとうございました。最短経路の問題として考えることもできるとは。