Lorentz変換

質問

系Fのxy平面は平面波がx軸の方向に速度k、振動数νで伝搬される池の表面である。
これらの波の運動方程式は次のように与えられる。

y = Asin2πν(t － x/k)

　系S’の形式を用いたこの方程式によって生じる形を計算せよ。したがって、系S’での波の振動数ν’と速度w’が次のように与えられることを示せ。

ν’ = βν(1 － u/k)、　　k’ = (k-u)/(1-uk/c^2 )

考えたところまで書きます。

まず、ν’を導く際、

x = β(x' +ut')、　t = β(t' + ux'/k^2)

というLorentz変換式を用いて

ｔ - x/k を計算し、

ｔ - x/k = β(1 - u/k)(t' - x'/k)

となるので、

ν' = βν'(1 - uv)

ここまで、考えました。ここまでの考え方は大丈夫でしょうか？また次のk'の導き方が分かりません。
よろしければ計算を添えて解答してもらえると助かります。

よろしくお願いします

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

ちょっと計算が違うような…

x = β(x' +ut')、　t = β(t' + ux'/k^2)

∴y = Asin2πν(t － x/k)
= Asin2πν{ β(t' + ux'/k^2) - x = β(x' +ut')/k
= Asin2πνβ{ (1-u/k) t' - (1-uk/c^2)x'/k }
= Asin2πβ(1-u/k)ν{ t' - (1-uk/c^2)x'/(k-u) }

y' = Asin2πν'(t' - x'/k')　と比較して，

ν' = β(1-u/k)ν　，　k' = (k-u)/ (1-uk/c^2)

となると思います。ν'のβ因子は時間の遅れ，(1-u/k)の因子はドップラー効果を意味し，k'の方は合成速度そのものです。

お礼

参考になりました！ありがとうございます＾＾