次のように考えました。
まず1+2+3+4+5+6=21なので、すべて相異なる1以上の整数で6数の和が23になる組み合わせは、（1,2,3,4,5,8)か（1,2,3,4,6,7)のどちらかしかありません。
次に合計金額の末尾が1円ということは1円が1枚で5円が偶数枚か、1円が6枚で5円が奇数枚かのいずれかです。
さらに使える枚数の上限が8または7なので、500円が1枚では残額を他の硬貨で作れませんので、500円は2枚か3枚使う必要があります。
ここであらためて、100円をX枚,50円をY枚,10円をZ枚と置きます
(1)1円が1枚で5円が偶数枚(2,4,6,8)の時
500円を2枚使う場合(5円が2枚の場合はないので）100X+50Y+10Z=990,980,970 となりますが、上の組み合わせの残りの数値の組み合わせではこれを満たすことができません。
500円を3枚使う場合、100X+50Y+10Z=500,490,480,470となりますが、これも同様に題意を満たすX,Y,Zが存在しません。
(2)1円が6枚で5円が奇数枚の時、6を含む組み合わせは（1,2,3,4,6,7)のみですので5円玉の枚数は1,3,7のいずれかです。
500円を2枚使う場合、100X+50Y+10Z=1000,990,970 となりますが、例えば最初の方程式のX,Y,Zを残りの3,4,7では満たせぬように、題意を満たすものがありません。
500円を3枚使う場合(5円が3枚の場合はないので）100X+50Y+10Z=500,470となります。
このうち前者を満たすX,Y,Zはありませんが、 5円玉が7枚の場合の100X+50Y+10Z=470については残りの1,2,4をX=4,Y=1,Z=2とすれば満たします。
まとめますと、500円3枚、100円4枚、50円1枚、10円2枚、5円7枚、1円6枚(合計23枚・2011円）です。
