逆数の２乗の和のmod

質問

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+・・・+(1/(p-1))^2 = 1^2+2^2+3^2+・・・+(p-1)^2 　(mod p)

この式の証明を教えてください。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

要はmod pで考えた時集合として
{1, 2, 3, ..., p-1} = {1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/(p-1)}
であることを言えばいいのです。

1/x - 1/y = -(x-y)/(xy)であるから(mod pで考えて）
x≠y ⇒ 1/x≠1/yです。よって1/1, 1/2, 1/3, ... , 1/(p-1)は
全部異なり、集合{1/1, 1/2, ...., 1/(p-1)}の元の数は
p-1個あります。

一方1/1, 1/2, ..., 1/(p-1)は結局1, 2, 3, ..., p-1のどれかで、
集合{1, 2, 3, ..., p-1}の元の数もp-1個しかありません。
よって2つの集合は同じです。

お礼

集合から考えるんですね！
なるほど感心しました。
素早い回答ありがとうございます。