mod p の計算

質問

1+1/(2^k)+1/(3^k)+・・・+1/((p-1)^k) (mod.p)
を計算すると、kがp-1で割り切れないとき、0になるらしく、実際に計算してみたところ、数字が小さいところでは、それがなりたつことがわかりました。
これは、一般に本当に正しいのが知りたいのですが、証明なども含めて、教えて頂ければ有り難いです。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

p ≠ 1 のときに「2 が原始根」とは限らないからね. 例えば p=7 だと 2^3 ≡ 1 だから 2 は原始根にならない.

原始根を r とおいて, 任意の n (1, 2, ..., p-1) が r^t (t = 0, 1, ..., p-2) と書ける (そして n と t が 1対1 に対応する) ことを使う.

お礼

p=7のときは、3が原始根の一つであり、それを用いると、(項の順序を並びかえて、)
与式＝(3^(-1))^k+(3^(-2))^k+・・・+(3^(-2))^k
　　＝(3^(6k)-1) / (3^(6k)(3^k-1)) ≡ 0 となることがわかり、他のpに対しても、原始根の存在を認めれば、同じような計算で題意の成立を確かめることができました。

いろいろとたくさんのご助言を頂き、とても感謝しています。
有り難うございました。

補足

すみません。上のお礼の欄の２行目は、与式＝(3^(-1))^k+(3^(-2))^k+・・・+(3^(-6))^kの間違いです。

回答No.4

Tacosan

本当に原始根の意味を理解できているのかなぁ.... 例えば「pが素数なら1,2,3,・・・,p-1が原始根になる」ってどういう意味? 1 が原始根になりえないことは分かるよね?

「原始根が存在する」ことを認めれば, 元の式で 1, 2, ..., p-1 を原始根のべきで表せばいい. そうすると結局等比数列の和の形になって, 和の公式を使えば値が求まる.

お礼

有難うございます。
pが2でないときは、2が原始根の1つなので、それを用いて、もう一度自分なりに考えてみたいと思います。

回答No.3

Tacosan

書くこと自体はかまわないけど, その前に何がどう分らない?

お礼

何度も大変丁寧にご返事を頂き有り難うございます。

原始根の意味はわかり、Z/pZにおいては、pが素数なら1,2,3,・・・,p-1が原始根になることはわかります。
そのあと、具体的にどのように計算したらよいですか？
最初の具体的な式変形と、主要なアイデアがあれば、残りは自力でできると思います。

回答No.2

Tacosan

あ, ごめん. #1 は大嘘. というわけでやり直し.

p は奇素数じゃないと式の意味がないのでそれを仮定する. と, 原始根を考えることができてごにょごにょすると左辺は 0.

お礼

ご返事を頂き、有り難うございます。

大変恐縮ですが、あまり知識がなく、あと少しだけ、子細をお教え頂けないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

p が奇素数なら左辺は 1, 2, ..., p-1 の置換の和だから 0.