0で割れないことをどう思われますか？

質問

0で割れないことを証明してくださいという意味ではありません。

加減乗除で除算以外は0を問題なく扱えるのに除算だけ0を特別視しなければならない。なんとなく違和感を覚えます。
「何に0をかけても0」の逆は「何を0で割っても0」とならない。
「0で割るな」...「0で割るような事態は避けろ」...
なんかそこまでいわれるとブラックボックスというかパンドラの箱というか、神秘的なものさえ感じてしまいます。

ここに宇宙の謎が...とか、人類の限界...とか、実はこの算術体系は欠陥品だ...とか。こんな例外のないもっとシンプルな算術の体系を知っているとか。
0で割れないからこそシンプルで完成された体系だとか。

そんな視点のコメントお待ちしております。

回答No.5

unos1201 · ベストアンサー

ゼロに限りなく近い状態は正の向きからと負の向きからの異なるアプローチがあり、A/0.1=10A,A/(-0.1)=-10Aのようにゼロに近づけば近づくほどまったく正反対の状態になります。

ではその極限はというと、存在しない状態となるのです。

割り算の意味は、１単位当たりの割り当てと考えれば、無いものを１単位にできないから無理な想定ではないのでしょうか。

無から有を作れないからゼロで割れないと解釈してみてはどうでしょうか。

補足

>割り算の意味は、１単位当たりの割り当てと考えれば、
>無いものを１単位にできないから無理な想定ではない
>のでしょうか。

>無から有を作れないからゼロで割れないと解釈してみ
>てはどうでしょうか。

除算の定義を言葉で聞きたかったところです。
これで納得いきそうです。

加減が0を境に+と-に広がるイメージ。
乗除に対してもなんとなく直線的に0と無限...と思ってしまったのですが、双曲線で数の連続性・未定義値というイメージがしっくりきました。

未定義値は例外などではなく、定義された数で成り立つのが四則演算。+-×÷よりももっと大前提のルールだと。

欠陥などとんでもないです。

回答No.8

yuusukekyouju

足し算と引き算の関係は
足し算が基本としてあって、その逆算として引き算がある
つまり、３に２を足せば５になる。だから５から２をひけば３になるという関係があります。

掛け算と割り算の関係を同様の関係です。
３に２を掛ければ６になるだから６を２でわれば３になるという関係です。
しかし、
ある数×０＝０となるように
掛け算の答えは０しかありません。
つまり、逆算として例えば２÷０とか３÷０は存在しませんし、０÷０はある数となり答えが定まりません。

回答No.7

shige_70

0と言うものがなにかと言うのは他の方がだいたいおっしゃっているので割愛して、思っていることだけ答えます。

小学校では、負数を習いませんので、ある数からそれより大きい数を引くことはできませんでしたね。
同様に、複素数の概念を習うまでは負数の平方根を求めることはできませんでしたね。

大学以降で数学を習う時に、同様に、0による除算を定義してついに0で割っても良くなるか、、、というと、ならないんですよね。。。
無限の概念の導入、群論での演算定義、非ユークリッド幾何など、新しい概念をいくら導入しても、結局0での除算はさせてもらえずじまい。。。

もはや、0による除算は不可能と言うのは、ひとつの公理足りえるほどの不変の事実かもしれませんね。

回答No.6

adinat

まず始めにゼロとは何かということに言及します。
それは言うに及ばず加法の零元のことです。
a+0=0+a=a
が全てのaについて成り立つような元です。
一般に足し算、引き算、掛け算ができるような数の体系
たとえば「整数」などを環と呼んでいます。
そうして「環の局所化」と呼ばれる割り算を定義します。
割り算は「割る数」を決めることによって定義されます。
普通はその「割る数」に0を含めないのです。
したがってそもそもゼロで割るということは定義されていません。
ときどきそれは∞とか言われたりしますが、
これは∞といものはそもそも「数」ではなので
この際、解析的なことは忘れて話をしています。
ではゼロも「割る数」の仲間に入れて
どんな数で割っても良いようにできないか、
という疑問がわいてきます。
実はそれは可能なのです。ただしひとつ問題があります。
割り算（分数）には分母分子に同じ数をかけてもよい
という決まりを置いておきたいものです。だから、
a/b=c/d
という関係式があれば
ad=bc
でなければなりません。逆に
ad=bc
ならば
a/b=c/d
というわけです。このことから0で割ってもよいとすると
全てのa,bについて
a/b=0/0
となるわけです。要するにゼロで割ってもよいような
数の体系で、ちゃんと約分などができるようにしたければ
それは必然的にすべて0に等しいものになってしまうのです。
というよりゼロしかない世界になってしまいます。

ともあれ代数学的に言うと0で割ると詰まらないので、
0ではなるべく割らないようにすると言う事もできます。

補足

+と-の符号をつければ「加減」は同質の法則。
また逆数を使えば「乗除」もまた同質の法則で、「逆数」の分母には0を取らないというルール（0を取ったとしてもゼロしかないよーというルール）があるだけと考えれば、例外どころか、はじめから極めてシンプルなルールしかありませんね。

納得納得。

回答No.4

mirage70

論点として、何かを忘れていると思います。
たとえば、3/1=3が成り立つのは、
3/(1+0)=3であり、3/(1-0)=3と言うことで連続していると云うことです。
同様に計算すると、3/(+0)=+∝であり、3/(-0)=-∝となり、連続していないと云うことです。
0と言うものを理解するのに、(+0)と(-0)を考慮すべきであると思います。
双曲線のxy=1でx=0のところを考えればよいのではないですか。
ですので、私としては、算術体系は欠陥品でないと考えております。

補足

連続性...

NO.5の方の言われる0に近づくのに正方向からと負の方向からというアプローチという話と同じでしょうか？

なるほど、双曲線のx=0のところか。
くっついているようだけどやっぱりあそこは未定義になるわけですね。目で見ると面白い。

NO.5の方の言葉の説明の部分で除算の定義的なもの含めなんか納得しました。こちらは目で見れていっそう納得しました。

算術体系は確かに欠陥品ではないです。

回答No.3

natsuki_tk

確かに、0で割れば無限に近づくは説明になっていませんね(^^；
少なくとも(数学的)論理的な理由にはなりません。

個人的には、
全てのものが可逆では無いという考え方が好きです。
たとえば、時間が後ろには進めないのと同様です。

0があるからこそ、
単純な四則計算にでも変化が生まれるわけで。
0があるからこそ、微少なものの考え方や
巨大なものへの考察ができるのだと考えます。
さりげなく結構魅力的な数なんでは・・と。

補足

対称でないから面白い...確かに僕は対称性にとらわれやすい。時間軸に対しても、少なくとも人間の感覚に対して非可逆なので違和感を持っています。SF的にいうと時間は４番目の次元となっていますが、点・面・線とは異質だろ？と思っています。（4次元といわず3次元+時間...ほとんど言いがかり。）

虚数・複素数などかなり観念的な数を持っているのに、基本的な四則のなかに扱えない禁じ手がある。

0で割れば無限大ならば僕は悩まなくて済んだ。
というか0は数だけど無限大は状態か？0も数ではないか？
四則はあくまで数に対する演算で状態は扱わない？

未定義というのも立派なルールなのかもしれません。
定義される範囲で四則は成り立つ。

話が飛びすぎるかもしれませんが、この辺のことご存知の方フォローお願いします。

回答No.2

myeyesonly

あれ?No1さんと対立する内容になっちゃいました。
私は高校で、にっくき数学の先生から、「0で割るのは定義されていないので禁止される」と習った記憶があります。
確か、無限大に限りなく近づくんだけど、無限大である事を証明できないって説明だったような・・・

ゆぇに0を特別扱いするのは、人間の勝ってであってズルイと思います。(笑)

補足

0の発明はすごいと思うのですが、加減乗除でひとつだけ0を扱えないというのがなんともおしいですね。
おしくないのかな？これでいいのかな？

これでいいのだ！と納得させてくれる回答でもいいのですが。

回答No.1

SCNK

割れないわけではありません。答えが無限になるだけです。全然不思議ではありません。

補足

本当にそうですか？
「違反」「未定義」「成り立たない計算」のはずですが。

証明の例がありますが、
http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/DivisionBy0.html
無限大になる保証はないと思いますが。