数学II＠微分法に関する問題

質問

次の方程式が与えられた区間で実数解をもつことを示せ。

x3 -5x2 +2x +7 = 0
-1?x?0、1?x?2、4?x?5
(文字化けしてしまうようです、?部分は全て小なりイコールです)

という問題なのですが、何をしたらいいのか分かりません。どうなったら示せたということになりますか？

回答No.4

info22_

左辺をf(x)とおいて
f(x)=x^3 -5x^2 +2x +7
とするとき
f(x)=0は3次方程式なので最大3個の実数解をもつ。

f(-1)*f(0)<0が言えれば-1≦x≦0の範囲に実数解が存在する。
f(1)*f(2)<0が言えれば1≦x≦2の範囲に実数解が存在する。
f(4)*f(5)<0が言えれば4≦x≦5の範囲に実数解が存在する。
以上の全てが成立するなら、それぞれの範囲に1個ずつ
合計3個の実数解が存在すると言えます。

f(-1)*f(0),f(1)*f(2),f(4)*f(5)を計算してみてください。

全ての不等式が成立していることを確認すれば良いですね。

お礼

ありがとうございました！助かりました！

回答No.3

Mr_Holland

2次方程式 f(x)=0 で　f(α)f(β)≦0 ならば　α≦ｘ≦β　に実数解をもつことを学習したと思いますが、それを利用すればOKですよ。

　f(x)=x^3-5x^2+2x+7 とおきます。

(1) f(-1)=-1<0, f(0)=7>0
　　∴　f(-1)f(0)<0
　　∴　f(x)=0 は -1≦x≦0 の間に少なくとも1つの実数解をもちます。

(2) f(1)=5>0, f(2)=-1
　　∴　f(1)f(2)<0
　　∴　f(x)=0 は　1≦x≦2 の間に少なくとも1つの実数解をもちます。

(3) f(4)=-1, f(5)=17
　　∴　f(4)f(5)<0
　　∴　f(x)=0 は　4≦x≦5 の間に少なくとも1つの実数解をもちます。

　以上(1)～(3)から、f(x)=0 は次の範囲にそれぞれ1つずつ実数解をもつことが分かります。
　　-1≦x≦0, 1≦x≦2, 4≦x≦5

お礼

ありがとうございました！助かりました！

回答No.2

OKXavier

とりあえず
f(-1),　f(0),　f(1),　f(2),　f(4),　f(5)
の値を求めてみましょう。

＜ヒント＞
f(p)f(q)<0
が成立したら、p<x<q　の範囲に解が存在します。
（厳密にはf(x)が連続であることが必要ですが、数学IIなので省略）

お礼

ありがとうございました！助かりました！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
≦、≧は、「ふとうごう」と入力して変換をすれば、表示できますよ。＾＾

さて、本題ですが、まずこの 3次方程式は因数分解できなさそうですね。

微分の分野なので、グラフを考えることは想像がつくと思います。
「実数解をもつ」とは、グラフがどのようになっている点が存在すればいいのでしょうか？
そのような点が存在することを説明できれば、示すことができます。

いっそのこと、グラフを描いた方が早いかもしれませんが。

お礼

ありがとうございました！助かりました！