電磁気学の問題

質問

図のように、半径がa(m)の円弧上の部分と半直線部分からなる細い電線にI(A)の電流を流した。
このとき、中心Oの磁束密度Bを基準ベクトルi,j,kを用いてベクトル式で表せ。透磁率をμ_0(H/m)とする。
という問題なんですが、これはビオ・サバールの法則を使うと思って自分なりに解いてみました。
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1243174.jpg
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1243170.jpg
ですが、これはベクトルを使っていませんし答えは間違っている思います。（あと、積分の範囲も自信ないです）
ベクトルをどのように使って答えを出すか教えてください。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

基本的に合っていると思います。

ビオ・サバールの法則を
dH~ = I ds~×r~ / (4πr^3)
と書きます（~ はベクトル、× は外積）。

ふたつの半直線部分については、ds~ と r~ が同じまたは逆の方向なので
ds~×r~ = 0~ 。
よって、H~ への寄与はありません。

円弧の部分については
ds~×r~
= ds a k~
= a dθ a k~
= a^2 dθ k~
なので、
H~ = {I/(4πa)}∫<0->2π/3> dθ k~
　　= {I/(6a)}k~ 。

よって
B~ = μ0 H~ = {μ0 I/(6a)}k~ 。

お礼

ありがとうございました