人工衛星が軌道を修正するとき、垂直方向に加速したらどうなるのでしょうか

質問

人工衛星が軌道を修正するとき、垂直方向に加速したらどうなるのでしょうか。普通は軌道の進行方向に向かって加速するもののようで、その場合のことは本などで理解したのですが、地表から見て垂直方向に加速した場合にどうなるかについては分かりませんでした。

具体的には、例えば地球を軌道半径7000kmの円軌道で回る人工衛星が、地表から見て垂直に0.4km/sの速度に加速した場合、どのような軌道になるのでしょうか。たぶん斜め上の方向に飛んでいくのだろうとは想像できるのですが、その先が分かりません。色々と計算してみたいので、具体的な計算式などを教えてください。

回答No.8

SortaNerd_

すみません。2,3行目に貼り付けてください。
1行目は前回と同じだったので省略したのですが、よく考えてみればこれだと行番号がずれてしまいますね…。

回答No.7

SortaNerd_

大変失礼しました。先ほどの式は完璧に間違っています。
何度も式を直していて、グラフで円を描いたので正しいかと思ってしまいました。

取り急ぎ直したものがこちらです。
今度は原点が焦点になっているのでさっきのよりは正しそう…。
"1","0","=G2","=H2","=1/(A2^2+B2^2)*$I$2*COS(ATAN2(A2,B2))","=1/(A2^2+B2^2)*$I$2*SIN(ATAN2(A2,B2))","","0.01","-0.0001"
"=A2+C2","=B2+D2","=C2+E2+G3","=D2+F2+H3","=1/(A3^2+B3^2)*$I$2*COS(ATAN2(A3,B3))","=1/(A3^2+B3^2)*$I$2*SIN(ATAN2(A3,B3))","","",""

補足

わざわざありがとうございます。早速、この式をExcelに読ませたところ、循環参照があると言われてできませんでした。OpenOfficeのCalcでも試してみましたが、エラーになりました。

回答No.6

SortaNerd_

表計算ソフトで軽くシミュレーションしてみたところ下図のようになりました。
数値を合わせるのは面倒だったので適当ですが雰囲気は伝わると思います。
右から上向きに速度をつけ、5/4周したところで上向きに増速しています。
軌道が微妙にずれているのはシミュレーションのやり方がいい加減なためで、まともなシミュレーションをすれば綺麗に合うはずです。

使った式は以下です。3行目を2000行くらいまで複製してください。Excelはグラフが汚いため図で使用したのはOpenOfficeのCalcですが、式はExcel用に書いてあります。
"位置x","位置y","速度x","速度y","加速度x","加速度y","速度増分x","速度増分y","mMG"
"1","0","=G2","=H2","=(A2^2+B2^2)^(1/2)*$I$2*COS(ATAN2(A2,B2))","=(A2^2+B2^2)^(1/2)*$I$2*SIN(ATAN2(A2,B2))","","0.01","-0.0001"
"=A2+C2","=B2+D2","=C2+E2+G3","=D2+F2+H3","=(A3^2+B3^2)^(1/2)*$I$2*COS(ATAN2(A3,B3))","=(A3^2+B3^2)^(1/2)*$I$2*SIN(ATAN2(A3,B3))","","",""

補足

ありがとうございます。早速、このモデルをExcelに入れてグラフを描いてみました。

ただ、それで気づいたのですが、この図の原点が地球の重心に当たるのだと思いますが、これが楕円軌道の真ん中に来ます。これは、ケプラーの第一法則に従えば楕円軌道の焦点に来るはずだと思いますので、どこか合わないような気がします。

回答No.5

naigel

低軌道の人工衛星や宇宙ステーションなどは、ごくわずかな空気抵抗があって、徐々に高度が下がります。宇宙ステーション（ＩＳＳ）は高度４００キロと言われていますが、３４０キロあたりまで下がるのです。
ＩＳＳにはソユーズやプログレスが必ずけい留されていますが、そのエンジンで噴射させ、
高度を４６０キロまで持ち上げます。その場合の噴射は垂直方向になります。

実際にはＩＳＳは秒速８キロという速度（第一宇宙速度）で前に進んでいるので、垂直方向との合算
ベクトルは極めて緩やかな前方斜め方向となります。

火星や金星への探索機が進むホーマン軌道も地球の公転を合わせたベクトルで得られます。

軌道修正も減速も全てベクトルで考えて下さいね。

お礼

なるほど、そういえばIISが軸方向を地表に向けて直立したような姿勢の写真を見たことがあります。

回答No.4

469437

N02です。質問と私への返信についてですが、

＞例えば地球を軌道半径7000kmの円軌道で回る人工衛星が
＞最初の高度7,000,000(m)での円軌道の軌道速度をv1とすると

軌道半径とは、軌道中心(≒地球の中心)からの距離で、高度とは、地表からの距離だと思いますが。

補足

ご指摘ありがとうございます。

仰るとおり、その部分の「高度」は「軌道半径」の間違いです。

回答No.3

tetsumyi

方向を含んだ速度が変わるのですから軌道が変わります。
円軌道が楕円軌道となります。
結果的には進行方向に加速した場合と同じになります。
軌道計算ができるならすぐにわかると思うのですが？
普通、人工衛星を目的の円軌道にするには打ち上げ時の楕円軌道の状態から軌道を修正しながら円軌道に近付けます。

補足

ありがとうございます。

円軌道がどのような軌跡を描いて楕円軌道になるのかについて、469437さんの回答での補足で自分で計算してみたのですが、いかがでしょうか。

回答No.2

469437

脱出速度に達しない場合は、一時的には斜め上の方向に進み、高い軌道に乗りますが、最終的には元の軌道に戻ります。
垂直方向に加速したとしても、常にその方向と逆向きに地球からの重力を受け続けていますので、加速を止めた時点から、垂直方向の速度ベクトルは減り続け、いつかは０になります。
結果として、加速前の接線方向への速度のみの状態に戻るので、元の軌道に戻ります。

補足

ありがとうございます。

垂直方向の加速は、簡略化した計算として、瞬間的に垂直方向に0.4km/sの速度が与えられるという想定です。

元の軌道に戻るというお話ですが、円軌道に入るための軌道速度は高度が上がるにつれ下がっていくので、少し腑に落ちません。考えてみたのですが、垂直方向の速度が段々と落ちていって0になったとき、水平方向の速度はその高度での軌道速度を少し上回っているはずなので、そこを近地点とする楕円軌道に入るとは考えられないでしょうか。

具体的には、地球の重力定数μeを3.986*10^14(m^3/s^-2)とし、最初の高度7,000,000(m)での円軌道の軌道速度をv1とすると、v1＝sqrt(μe/7,000,000)＝約7,546(m/s)で、この高度での重力加速度をgとすると、g＝μe/7,000,000^2＝約8.135(m/s^2)となります。

便宜的にgは変わらないと仮定し、経過時間をtとすると、垂直方向の速度400(m/s)は、t(s)後には400-g*t(m/s)となり、t＝400/g＝約49(s)のとき、0になります。この間の垂直方向の移動距離をyとすると、y＝{400+(400-g*t)}*t*1/2(m)で、tの2次関数となり、同じく水平方向の移動距離をxとすると、x＝v1*t(m)で、tの1次関数となるので、xとyで示される軌跡は2次曲線になります。

この最後のt＝400/g(s)のとき、y＝{400+(400-g*400/g)}*400/g*1/2＝約9,834(m)となるので、そのときの高度は約7,009,834(m)となります。この高度での円軌道の軌道速度をv2とすると、v2＝sqrt(μe/7,009,834)＝約7,541(m/s)となり、v1より約5(m/s)小さいので、そこで水平方向に約5(m/s)の加速をしたときと同じ状態になり、そこを近地点とする楕円軌道に入る、という計算です。

回答No.1

nananotanu

その高度に見合った、軌道速度にて、ケプラーの法則に従い回り続けます(地球の重力から解き放たれていないとして)。

補足

ありがとうございます。
地球から飛び出さす、地球に落ちない限りケプラーの法則に従うことは理解しています。