既出の質問 √xが整数 (x=y^2＋3n＋54 yは自然数）になるｙ

質問

既出の質問　√xが整数　(x=y^2＋3n＋54 yは自然数）になるｙはいくつでしょうか
で、もしも、(x=y^2＋3y＋54 yは自然数）になるｙはいくつでしょうか
になれば、yを求められるでしょうか。

よく使う手で y^2＋3y＋54=k^2 自然数k>0とおく。とやって、
左辺に平方の形をつくる。となるけれど、3yでうまくいかない。
3y=2y+yにしてみてもあとが、続かない。
よろしくおねがいします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

y^2＋3y＋54=k^2
とおけば
4y^2＋12y＋216=4k^2
(2y＋3)^2＋207=4k^2
4k^2－(2y＋3)^2=207
(2k＋2y＋3)(2k－2y－3)=3*3*23

あとは、(2k＋2y＋3)と(2k－2y－3)の組み合わせを調べる。

お礼

ありがとうございます。
４倍すれば、平方がつくれるとは。
整数問題、特に、２次方程式の整数解のときに
使えそうなので記憶にとどめておきたいと
思います。

回答No.3

pasocom

y^2＋3y＋54=(y+c)^2　と置く。（もちろんcは整数）
すると、(y+c)^2=y^2+2cy+c^2
よって、
3y＋54=2cy+c^2
y=(54-c^2)/(2c-3)　。
yは自然数（正の数）だから、
c=2,3,4,5,6,7
しかあり得ない。
c=2の時、y=50
c=3の時、y=45/3=15
c=4の時、y=38/5→ｘ
c=5の時、y=29/7→ｘ
c=6の時、y=18/9=2
c=7の時、y=5/11→ｘ

よって、答えは3　。

お礼

ありがとうございます。
この流れの解答はいままでみたことがありませんでした。
分かりやすいと思いました。

回答No.2

mister_moonlight

＞あとは、(2k＋2y＋3)と(2k－2y－3)の組み合わせを調べる。

闇雲に調べても疲れるだけ。

(2k+2y+3)＋(2k-2y-3)＝4k＝偶数、 2k+2y+3≧2k-2y-3　から組み合せは限られてくる。

207＝1*3*3*23 となる。

お礼

ありがとうございます。
これで、組み合わせがだいぶ減らせます。
ちょっとしたことだけど、解答にとっては大きい。