0<a<1/e,aα=logα のとき、

質問

0<a<1/e,aα=logα　のとき、
f(a)=-aα^2+2α-{(1+e^2)a/2}-1
を最小にするaの値を求めよ。

この式から、aを消去してαだけの式にして
αで微分して・・・とやってみましたが、
複雑で収拾が付かなくなりました。
また、aだけの式とも考えましたが、これは
できませんでした。
最小をみたせばよいからと・・・あとは、どんな方法が
と考えましたが、どうどう巡り。
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

t=αとする
at=logt
a=logt/t
1<t<e
0<a<1/e
at<1
da/dt=(1-logt)/t^2=(1-at)/t^2>0
dt/da=t^2/(1-at)>0
f(a)=2t-at^2-a(1+e^2)/2-1
df/da=2(dt/da)-t^2-2at(dt/da)-(1+e^2)/2=t^2-(1+e^2)/2
df/dt=(df/da)(da/dt)
1<t<√{(1+e^2)/2}のときdf/dt<0だからfは減少
√{(1+e^2)/2}<t<eのときdf/dt>0だからfは増加
だから
t=√{(1+e^2)/2}のときfは最小になる
a=logt/t
a=(log[√{(1+e^2)/2}])/√{(1+e^2)/2}

お礼

ありがとうございます。
fをaで微分した
df/da=2(dt/da)-t^2-2at(dt/da)-(1+e^2)/2=t^2-(1+e^2)/2
また、df/dt=(df/da)(da/dt)として、tの関数として考えるところ
（これは、df/daがaの関数でないからだと思いましたが・・・）
が勉強になりました。
慣れていないと、計算が進められないと思いました。

補足

お礼の追伸
df/dt=(df/da)(da/dt)として、tの関数として考えるところ
（これは、df/daがaの関数でないからだと思いましたが・・・）
と書き込みましたが、回答の流れからして、df/dt=(df/da)(da/dt)
の必要性がちょっと分かりませんでした。

回答No.1

info22_

>あとは、どんな方法が
>と考えましたが、どうどう巡り。

参考URLの「ラグランジュの未定乗数法」を使えばいいと思います。
簡単のため　α=A(>0)と置いておきます。
f(a,A)=-a*A^2+2*A-((1+%e^2)*a/2)-1
とと置き、拘束条件：
g(a,A)=a*A-log(A)=0…(1)
として、ラグランジュの未定乗数法を適用すると
g(a,A)=0（拘束条件）
∂f{(a,A)+tg(a,A)}/∂a=0…(2)
∂f{(a,A)+tg(a,A)}/∂A=0…(3)
これらの3つの式に対して変数はa,A,tなので連立方程式が解ける。
(2),(3)から以下の式が得られる。
A^2+tA+(e^2+1)/2=0…(2')
-2aA-t(a-1/A)+2=0…(3')

(1),(2'),(3')を解くと
a=((√2)log(√(e^2+1)/(√2)))/√(e^2+1)≒0.35003…(<1/e=0.367879…で条件を満たす)
A=√(e^2+1)/√2
t=-(√2)√(e^2+1)

最小値
f(a,A)=f(((√2)log(√(e^2+1)/(√2)))/√(e^2+1),√(e^2+1)/√2)
=-(√2)√(e^2+1)*log(√(e^2+1)/(√2))+(√2)*√(e^2+1)-1
≒0.1596478…

やり方は合っていると思いますが、計算が正しいかは保証の限りではあちません。
自分でやって確かめてください。

参考URL：

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

お礼

ありがとうございます。
最小値を求める方法はいろいろあると思いますが、
「ラグランジュの未定乗数法」は気づきませんでした。
あまり使い方がよくわからないので（極値、最小、最大等）、食わず嫌いのところが
ありました。この機会に勉強したいと思います。