x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

質問

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか？
教えてください。

回答No.3

ere_Elba · ベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

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回答No.4

muturajcp

すべての自然数nについて
P(n): x^n-y^n=(x-y)Σ_{j=0～n-1}x^{n-1-j}y^j
が成り立つ事を帰納法で証明する
(1)P(1):x^1-y^1=(x-y)x^0y^0 は明らかに真である
(2)P(k):x^k-y^k=(x-y)Σ_{j=0～k-1}x^{k-1-j}y^j
が真であると仮定すると
→
x^{k+1}-y^{k+1}=x(x^k-y^k)+(x-y)y^k
=[x(x-y)Σ_{j=0～k-1}x^{k-1-j}y^j]+(x-y)y^k
=(x-y)Σ_{j=0～k}x^{k-j}y^j
このことは P(k+1) が成り立つことを示している
したがって,P(n):
x^n-y^n=(x-y)Σ_{j=0～n-1}x^{n-1-j}y^j
はすべての自然数nに対して常に成り立つ

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回答No.2

mamoru1220

nに1や2など具体的な数字を代入すればわかるのではないでしょうか。

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回答No.1

Tacosan

これくらいなら聞くより計算した方が早いと思うぞ.

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