x^n+y^n=1以外でn=2のとき円を表す関数の種類

質問

x^n+y^n=1 以外にも(x+y)^n+(x-y)^n=1や (x+y)^n+(y-x)^n=1はｎが２のときに円を表しますが、それ以外の数ではグラフの形が違うようです(回転している？）。このようにｎが２のときに円を表す関数というのは他にも無数に作れるのでしょうか。

回答No.7

ryn · ベストアンサー

> x-yと y-xを入れ替えると回転の角度が変わるようですが，
> これは同じ系列というべきですか。
時計回りに π/4 回転するか，反時計回りに π/4 回転するかの違いです．

> 私は２乗以外の場合に違った図形になれば
> 違った系列にならないのかなと思ったのですが・・・
一般の n で
　(x+y)^n+(y-x)^n=1
という図形は
　x^n + y^n = 1
を π/4 回転，2^{n/2} 倍拡大したものになっています．
円の場合対称性から数式が一致するだけです．

それらを別の系列と考えるかどうかというのは
2次方程式の重解をどうとらえるか同じようなものだと思います．

お礼

再度御丁寧にご教示頂きまして有難うございます。

回答No.6

ryn

例えば
　(x+y)^2+(x-y)^2=1
の式は
　x^2 + y^2 = 1
という式において
　x = x' + y'
　y = x' - y'
という変換をして
新たな変数 x',y' を用いて円を表しています．

これは，π/4 回転＋拡大に相当します．
同様に任意の角θでの回転行列を考えると
　x = x'*cosθ - y'*sinθ
　y = x'*sinθ + y'*cosθ
という変換をすることで
　(x*cosθ - y*sinθ)^2 + (x*sinθ + y*cosθ)^2 = 1
も円を表すことがわかります．

No.2 さんのおっしゃるように見た目が違うだけで同じ式ですが，
θは任意なので表示方法は無数ということになりますね．

お礼

ご教示有難うございます。私は２乗以外の場合に違った図形になれば違った系列にならないのかなと思ったのですが・・・

補足

x-yと y-xを入れ替えると回転の角度が変わるようですが，これは同じ系列というべきですか。

回答No.5

pcbeginner

楕円は
・2つの定点AとBからの距離の和が等しい点の集合
　(ある点をrとするとAとrの距離ArとBとrの距離Brの和：Ar+Brが一定になる点rの集合)
ですね。
で、円はその楕円の2つの定点が1つに重なった場合ですね。

他にも…(グラフとは関係ないかな)
円柱(円筒？)を垂直に(断面が円になるように)切れば、断面が円ですが、斜めに切ると断面が楕円になります。

x^4+y^4=1
の図形ついては…もう記憶にないので…。(^^;A

そういう幾何学的な面白い？図とか式は大学のテキストで色々見た記憶があります。

お礼

ご丁寧にご教示頂きありがとうございました。

回答No.4

pcbeginner

円の起源
というと微妙かもしれませんが、
円の定義？
は
ある定点からの距離が等しい点の集まり
ではなかったでしたっけ？？？

お礼

ご教示を有難うございます。勉強してみます。

補足

円は楕円の特殊なものともいえると思いますがｘ＾４+ｙ＾４＝１が示す図形は四角のカドを落としたような図形ですが円と縁続きのものだと思います。この図形と楕円は直接の関係がないように思うのですが，円によって結び付けられているようにも思います。

回答No.3

pcbeginner

>ｎが２のとき円を示すものがいくつあるのだろう
それは#1の回答で、a,b,rの値を色々変えれば無数に出てきますよ。
()で囲まれた部分を展開したりして形を変えれば「見た目が違う式」というのも色々出てきますし。

いくつ？という問いに対しては
「いくつとは明確に言えないが、たくさんあります。」
かな…。
無限って言葉を使っていいのかが微妙なところですが…。

お礼

ご回答有難うございます。円の起原のようなものが複数あるのかなと思ったものですから・・・

回答No.2

pcbeginner

>ｎを２以外のものにしたときに別のグラフになるようなもの
？？？

(x - a)^n+(y - b)^n = r^n
のn=2のときとn=3(つまり2以外)のときに同じグラフになると思います？

むしろ
式が全然違うのに同じグラフになる
ということがあり得ると思います？？？

結論から言うと
「あります。全ての方程式がそうです。」
です。

同じグラフになるということは、結局同じ式なんです。
表示方法が違うだけで。

お礼

どうも済みません。表現が悪かったのだと思います。ｎをを含むいくつかの式でｎをいろいろ代えるといろいろなグラフが出てきますが、ｎが２のとき円を示すものがいくつあるのだろうというのが私の疑問でした。

回答No.1

pcbeginner

最終的に
(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2
a:中心の原点からのx軸方向の距離
b:中心の原点からのy軸方向の距離
r:円の半径
という形になれば、全部「円の方程式」です。

お礼

早速ご解答頂きありがとうございました。ｎを２以外のものにしたときに別のグラフになるようなものは他にはないのでしょうか。