ねずみ算？倍々計算の計算の仕方

質問

ねずみ算？倍々計算の計算の仕方

勉強しているさいにふとおもいついたんですけど

ある小学生が、親に頼みました。
「今月は1円、来月は2円、再来月は4円と、
先月の倍額のおこずかいをちょうだい」
さて、親が払う金額が100万円を超えるのは何ヶ月目でしょうか？

こういった問題なんですが解き方おしえてもらえませんでしょうか
答えまで出していただいて結構です
おねがいします

回答No.5

sanori · ベストアンサー

コメントにお答えします。
まず、前回回答の訂正から

検算のところで
２^19　－　１　＝　1048576／２　＜　１００万
ではなく
２^19　－　１　＝　1048576／２　－　１　＜　１００万
でした。

＞＞＞公式がきまってるわけとかではなさそうですね

いえ。公式はあります。
高校で習う「等比級数の和」の公式です。
前回回答の式は、その公式を導く手順と基本的に同じです。
公式を使ってしまうと納得してくれないような予感がしたので。

＞＞＞
すみません　なんか混乱してきました
ｎヶ月目　１　＋　２^1　＋　２^2　＋　２^3　＋　・・・　＋　２^(n-2)　＋　２^(n-1)
の２^(n-2)　＋　２^(n-1)の部分の　n-2 と n-1　解説していただけないでしょうか

１ヶ月目（ｎ＝１）
１

２ヶ月目（ｎ＝２）
１＋２^1　＝　１＋２^(n-1)

３ヶ月目（ｎ＝３）
１＋２^1＋２^2　＝　１＋２^(3-2)＋２^(3-1)
　＝　１＋２^(n-2)＋２^(n-1)

４ヶ月目（ｎ＝４）
１＋２^1＋２^2＋２^3　＝　１＋２^(4-3)＋２^(4-2)＋２^(4-1)
　＝　１＋２^(n-3)＋２^(n-2)＋２^(n-1)

１０ヶ月目（ｎ＝１０）
１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^7＋２^8＋２^9
　＝　１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^(10-3)＋２^(10-2)＋２^(10-1)
　＝　１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^(n-3)＋２^(n-2)＋２^(n-1)

１００ヶ月目（ｎ＝１００）
１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^97＋２^98＋２^99
　＝　１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^(100-3)＋２^(100-2)＋２^(100-1)
　＝　１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^(n-3)＋２^(n-2)＋２^(n-1)

つまり、ｎがどこまで大きくなっても、累計は、
１＋２^1＋２^2＋２^3＋・・・＋２^(n-3)＋２^(n-2)＋２^(n-1)
となります。

お礼

ご回答ありがとうございました
とてもわかりやすいです
お礼おくれてすみません
ありがとうございました

回答No.4

sanori

こんにちは。

１ヶ月目　１
２ヶ月目　１＋２
３ヶ月目　１＋２＋４

書き直すと、
１ヶ月目　１
２ヶ月目　１　＋　２^1
３ヶ月目　１　＋　２^1　＋　２^2
４か月目　１　＋　２^1　＋　２^2　＋　２^3
ということは、

ｎヶ月目　１　＋　２^1　＋　２^2　＋　２^3　＋　・・・　＋　２^(n-2)　＋　２^(n-1)
これをＳと呼ぶことにします。
Ｓ　＝　１　＋　２^1　＋　２^2　＋　２^3　＋　・・・　＋　２^(n-2)　＋　２^(n-1)
両辺に２をかけると
２×Ｓ　＝　２^1　＋　２^2　＋　２^3　＋　・・・　＋　２^(n-1)　＋　２^n
連立方程式の加減法みたいな感じで、下の式から上の式を引くと
ダブっている部分が消えて、
２×Ｓ　－　Ｓ　＝　２^n　－　１
Ｓ＋Ｓ－Ｓ　＝　２^n　－　１
結局
Ｓ　＝　２^n　－　１
２の１０乗は、１０２４。つまり、だいたい１０００です。
（デジタル技術者と麻雀打ちは覚えること必須）

なので、２の２０乗が、だいたい１００万です。
ですから、
だいたい１００万　＝　２^n　－　１
のとき
ｎ　＝　だいたい２０

検算
２^20　－　１　＝　1048576　－　１　＞　１００万
２^19　－　１　＝　1048576／２　＜　１００万

つまり、ｎ＝２０　（２０か月目）　で、累計が１００万を超える　が答えです。

なお、ｎか月めだけの１か月だけの金額ということであれば、２１か月目　が答えです。

お礼

ご回答ありがとうございました！
式にしてもらって納得できました

公式がきまってるわけとかではなさそうですね

補足

すみません　なんか混乱してきました
ｎヶ月目　１　＋　２^1　＋　２^2　＋　２^3　＋　・・・　＋　２^(n-2)　＋　２^(n-1)

の２^(n-2)　＋　２^(n-1)の部分の　n-2 と n-1　解説していただけないでしょうか

回答No.3

Turbo415

倍々にするのですから２の乗数です。ですから１００万を超えるとしたら、２の２０乗だったら1,048,576になります。最初の１ヶ月目は１円ですから、２０＋１で２１ヶ月目に１００万を超えます。

お礼

ご回答ありがとうございました

結構地道な作業ですね。
公式とかあればいいんですが

回答No.2

aokii

2^19=524,288(19ヶ月目)
2^20=1,048,576(20ヶ月目)
または、
log2(1,000,000)≒19.93156857
で、20ヶ月目

回答No.1

FEX2053

２のゼロ乗＝１
２の１乗＝２
２の２乗＝４
：
２の２０乗＝１，０４８，５４６

１００万を２で割り続けて何回で２未満になるか・・・で分かります。
電卓があれば２×２×・・・で計算できますよね。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました！