５０５０

質問

５０５０
ガウスが解いた１－１００までの合計の足し算の話についてです。ガウスは１＋１００＝１０１・・・
１０１が５０あるから５０５０と導き出したわけですが、その方法が、１－１００までの奇数や偶数やその他の様々な範囲でも通じるということを証明したいのですがどうすればよいでしょうか。

回答No.3

anisakis

1+2+・・・100=5050になることを少し違うやり方で（ほぼ同じです
S=1+2+3+4+....+100足し算の順序を変えた同じ式
S=100+99+98+97+....+1
2つの式を足します
2S=101+101+101+101+....101
2S=101*100
S=5050

100までじゃなく99でやります
S=1+2+3....+99
S=99+98+97+...+1
2S=100+100+100+....100
2S=100*99
S=4950

以上のことから
(最初の数+最後の数)×(足し算の数)/2で出せます

偶数の足し算は
2+4+6+8+.....
=2(1+2+3+4....)
括弧の中身は計算できると思いますので2倍すればいいだけです

奇数なら
1+3+5+7+....
(2-1)+(4-1)+(6-1)+(8-1)....
2+4+6+8....-1-1-1-1....
2(1+2+3+4....)....-1-1-1-1....

偶数のときのやりかたで足したものから
足し算の数だけ引きます

回答No.2

nattocurry

文字式を使わないで考えるとしたら、

１～１００のように、偶数の場合は、
１＋１００
２＋９９
３＋９８
：
：
４８＋５３
４９＋５２
５０＋５１
というように、足して１０１（最小値＋最大値）になるペアが、５０ペア（個数の半分）できる。

⇒　（１＋１００）【値】×（１００÷２）【個】＝１０１【値】×５０【個】＝５０５０
⇒　（１＋１００）×１００÷２

１～９９のように、奇数の場合は、真ん中の値が（１＋９９）÷２＝５０なので、
１→１＋４９＝５０
２→２＋４８＝５０
３→３＋４７＝５０
：
４９→４９＋１＝５０
５０→５０±０＝５０
５１→５０－１＝５０
：
９７→９７－４７＝５０
９８→９８－４８＝５０
９９→９９－４９＝５０
というように、９９から１へ４９、９８から２へ４８、・・・、と移動して、全部の値を真ん中の値に均すことができる。

⇒　｛（１＋９９）÷２｝【値】×９９【個】＝５０【値】×９９【個】＝４９５０
⇒　（１＋９９）÷２×９９

こんな感じでしょうかね。

回答No.1

spring135

等差数列
ai=a+(i-1)d
(初項a,項差ｄ）
の初項からn項までの和Snは公式より
Sn=an+n(n-1)d/2
ガウスのやり方はこれが
P=n(a1+an)/2
に等しいことを示したと考えられます。
これは以下により証明できます。
P=n(a+a+(n-1)d)/2=an+n(n-1)d=Sn
偶数の和なら
ai=2i(初項2、項差2）
奇数の和なら
ai=2n-1(初項1、項差2）
と置いて求められます。