証明問題教えてください！

質問

Ｘ・Ｙ＋(Ｘ)・(Ｙ)≡（Ｘ・(Ｙ)＋(Ｘ)・Ｙ）

という式の証明はどうやるんでしょうか？

バー（文字の上に引く横棒）は表示できなかったので
（）でくくったもので表しました。わかるでしょうか？実際は（）はどこにもついていません。
右辺の最初のＹなんかは二重バーになってるわけです。

ヒントで、Ｘ・(Ｘ)＋Ｙ・(Ｙ)を両辺に加え、分配とド・モルガンを使う、と書いてあるんですが、いろいろ式をいじってるうちにわからなくなってしまいました。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

集合の計算で＋は和集合、・は積集合（共通部分）でいいですね？
（　）を使ってしまうと分配法則の式が書きにくいので
’ダッシュを使うことにします。

左辺にＸ・Ｘ’＋Ｙ・Ｙ’を加えると
（これは空集合になるので足しても変わらない）

Ｘ・Ｙ＋Ｘ’・Ｙ’＋Ｘ・Ｘ’＋Ｙ・Ｙ’
＝Ｘ・（Ｘ’＋Ｙ）＋Ｙ’・（Ｘ’＋Ｙ）
＝（Ｘ＋Ｙ’）・（Ｘ’＋Ｙ）
因数分解みたいな感じですね。

右辺は（何も足さなくてもいいと思うけど？）

（Ｘ・Ｙ’＋Ｘ’・Ｙ）’
＝（Ｘ’＋Ｙ）・（Ｘ＋Ｙ’）

ダッシュ（実際にはバー）は
＋を・に、・を＋に変えます。
ダッシュを２回続けると元に戻ります。

ヒントに従ったけれど、右辺を展開して空集合を抜けば
いいんじゃないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました！
よくわかりました。