センター物理の電気の問題がわかりません

質問

抵抗R3の消費電力が最大になるようにR3の抵抗値を変化させた。
この時のR3の抵抗値はいくらか？という問題なんですが
解答を見てもよくわかりません（汗）
簡単に解ける方法やこのような問題を解く時の注意点など
教えてください。宜しくお願い致します。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#4です。

＞それとも2Rまでは合っていてそれからさらに何かをしてR/2　という答えに行き着くのでしょうか？
2Rは合っていますが、求めているのは分母の最小値ですね。
いま最終的に欲しいのは、（分母が最小）＝（電力が最大）となる R3の大きさですね。
不等号で等号成立となるのは、どんなときですか？

お礼

こんばんは。2Rというのは消費電力のが最大値だったんですね^^;
2Rの意味するところが良くわかっていませんでした(汗)
求めなければいけないのはR3の値なので等号成立の時で
R^2/4R3＝R3　と式を立てて
R3＝R/2とすれば良かったのですね^^
解けてかなり嬉しいです。本当にありがとうございました^^

回答No.6

Trick_art

＃２です。
＃２のようにあっさりと答えを出したのは、公式として覚えていたからです。

ほかの人と違うやり方で解いてみます。

R1とR2の並列合成抵抗をｒとおきます。
ｒ＝R1R2/（R1+R2）
R1=R2＝Rとおくとき、ｒ＝R/2

R３の消費電力をP、回路電流をIと置けば、
P=I^2・R3　・・・・（１式）

電流Iは、
I=V/（ｒ＋R3）・・・（２式）

２式を１式に代入。
P={V/（ｒ＋R3）}^2・R3　・・・（３式）

PとR3が変数、Vとｒは一定なので定数です。
数学でいえば、PがｙでR3がｘの方程式です。
PをR3で微分します。（ｙをｘで微分するのと同じ）

dP/dR3＝V^2(r+R3)^2-2V^2R3（ｒ＋R3)／(r+R3)^4　・・・（４式）

３式で、グラフにしたとき、最大値となるのは、接線の傾きがゼロのとき、すなわち、dP/dR3＝０のとき。
よって、４式より、

V^2(r+R3)^2-2V^2R3（ｒ＋R3)／(r+R3)^4＝０
分母と、V^2が消え、
(r+R3)^2-2V^2R3（ｒ＋R3)＝０
整理すると、
ｒ＝R3

ｒはR/2だったので、R3=R/2

お礼

こんばんは。詳しい解説どうもありがとうございます。
真ん中くらいまでは理解出来たのですが途中から僕には理解出来ませんでした^^;; 色々な解き方があるんですね。でも、この問題はとりあえず理解する事が出来ました。僕も色々な方法で解けるように色々勉強していこうと思います。どうもありがとうございました^^

回答No.4

naniwacchi

#3(#1)です。

まず、「*」は積、つまり「かけ算」を表しています。
Excelなどで計算式を入力するときには、この記号を使います。

(3)の計算は、比の式から v＝ R/(2* R3)* v3
これを和の式に代入して v3を求めています。

(4)の P3の式は単純にかけ算をしただけです。
その後の計算ですが、分母を次のように変形していきます。
(分母)
＝ R^2/(4* R3)+ R/2+ R/2+ R3
＝ R+ R^2/(4* R3)+ R3

ここで「^」は「何乗」ということを表しています。
R^2は、Rの 2乗という意味です。
変形した式の第 2項と第 3項について、相加・相乗平均の関係を適用します。

お礼

ご返答どうもありがとうございます。第 2項と第 3項に相加・相乗平均を適用したら最終的な答えが2Rになってしまう気がするのですが、という事はどこかで計算が間違えているという事でしょうか？それとも2Rまでは合っていてそれからさらに何かをしてR/2　という答えに行き着くのでしょうか？何度も質問してすみません。またお暇な時でいいので教えてください。^^;

回答No.3

naniwacchi

#1です。
やはり、模試でしたか。＾＾；

順番に求めていきましょう。
(1) R1と R2の合成抵抗の大きさは、R/2となります。

(2) すると、流れる電流はオームの法則より I＝ V/(R/2+ R3)となります。
（R3の抵抗の大きさを R3と表すことにします。）

(3) 合成抵抗と R3にかかる電圧（言い換えれば、それぞれの抵抗における電圧降下）をそれぞれ vと v3とおくと、
オームの法則より、電圧は抵抗に比例する ⇒ v：v3＝ R/2：R3
全電圧降下は、全体の電圧に等しい ⇒ v+ v3＝ V
整理すると、v3＝ V/{ R/(2*R3)+ 1 }

(4) 抵抗 R3の消費電力：P3は、
P3
＝ I* v3
＝ V^2/[ (R/2+ R3){ R/(2* R3)+ 1 } ]

分母が最小となれば、P3は最大となります。
分母の式を展開して、相加・相乗平均の関係を使うと P3≦ V^2/(2R)となります。
あとは、最小となるときを計算すれば、R3＝ R/2が導き出されます。

おそらく模範解答もこのようになっていると思うのですが、どの辺がややこしいですか？
補足してもらえればと思います。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
全電圧降下は、全体の電圧に等しい ⇒ v+ v3＝ V
までは理解出来るのですが

整理すると、v3＝ V/{ R/(2*R3)+ 1 }
(4) 抵抗 R3の消費電力：P3は、
P3
＝ I* v3
＝ V^2/[ (R/2+ R3){ R/(2* R3)+ 1 } ]

というあたりからなぜこのように変形（？）するのかがわからないんです^^;数学があまり得意ではないからでしょうか？
　あと*というのは何を意味するのでしょうか？

回答No.2

Trick_art

問題を見ると、「抵抗値Rの等しい抵抗R1,R2～」と書いてありますね。
ということは、このR1とR2の合成抵抗は、R/2。
消費電力が最大となるR3は、R3=R/2
Rを用いてはいけない場合は、R3=R1R2/{2・（R1+R2）}
やり方は省略しましたが、答えはこうでしたか？

お礼

こんばんは～。早々のご回答どうもありがとうございます^^
はい。答えはR/2になっていました。解説を見てもいまいち分からないのでよろしければ解法の仕方を教えてください^^;

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

手順としては、以下のような感じでしょうか？
・とりあえず、R1と R2の合成抵抗を求める。（これは難しくないですね）
・消費電力は（抵抗に流れる電流）×（抵抗にかかる電圧）であり、それぞれが R3に依存している。
・電流は、R1と R2の合成抵抗、R3どちらにも同じだけ流れる。
・電圧は、抵抗の大きさに比例してそれぞれの抵抗にかかる。

つまり、R3を変化させたとき、次のようになります。
・大きくすると、かかる電圧は大きくなるが、電流は小さくなる。
・小さくすると、電流は大きなるが、かかる電圧は小さくなる。

計算過程で「相加・相乗平均の関係」を使うと思います。
となると、センター試験にしては少し複雑だなあと・・・。

逆に選択肢に書かれている抵抗値を代入して計算するのが早いかもしれないですね。＾＾；

お礼

こんばんは。ご回答どうもありがとうございます^^
説明不足でしたセンター模試なのでセンター試験よりは少し難しいのかもしれません^^;