変数と定数

質問

tがt>0の範囲を動く
直線y=2tx-t^2が通りうる領域を求めよ。

という問題で、解答は
「この直線が(Xo,Yo)を通り得るための条件は、
Yo=2tXo-t^2を満たす正のtが存在することである。
故にx,yを定数とみなし、tについての方程式
y=2tx-t^2
すなわちt^2-2xt＋y=0がt>0の範囲に少なくとも１つの解をもつ条件(x,y）を求めればよい。・・・」
となっています。

ここで疑問があります。
XoとYoは色々な値をとる、つまり変数であるのに、これをx,yと置き換え、しかもxとyは定数とみなしています。
普通、変数を定数とみなせば、最後に定数を変数に戻して色々議論して解答終了、となりますよね？なのに、参考書ではそこのところの議論がなされていません(もし議論をするとしたらどんな議論になるのかもわからないですが・・・)。

例えばf(x)=x^2-2ax＋1の最小値m(a)を求めよ。という問題ならば、このときはaを定数とみなしますよね。で、m(a)の最小値を求めろ、と言われれば今度はaを動かしますよね・・・。

で、ここまで書いていて自分でも混乱してきたのですが、要するに、変数を定数にみなせば後で議論しなきゃならない(はず)なのに、何で最初に挙げた問題では後でその議論をしていないのでしょうか。変数を勝手に定数とみなして、そのまま終わっていいのでしょうか。

回答よろしくお願いします。
(多分今日のうちに回答への返事はできませんが、明日か明後日にでも回答を見て回答のお礼をさせて頂こうと思います。)

回答No.4

arrysthmia

余計なことを書いたから、反ってわかり難かったかな？
要するに、その x,y は、最初から
変数であって、定数ではありません。
t を動かした際の軌跡を求めるときは、
変数 x,y に同じ値しか代入しない
だけのことです。
だって、t を動かすって、そういうことだから。

回答No.3

arrysthmia

この問題の x,y のような「任意定数」は、
名前は「定数」というけれど、
実は最初から変数なんです。
t を動かして領域を求める際
x,y は動かさないだけのこと。
領域が x,y の写像として求まる訳ですから、
後から x,y も動かせばよいのです。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、折角回答してくれたのに、正直何を言ってるのかわからないです（…）。

回答No.2

mister_moonlight

例によって、書き込みミス。

（誤）従って、t＞0であるから、その接線の動き得る領域は、(1)x＞0、y≦x＾2　(2)　y＜0、→　(1)、or、(2)　とすぐ分かる。

（正）従って、t＞0であるから、その接線の動き得る領域は、(1)x＞0、y＞0、y≦x＾2　(2)　y＜0、→　(1)、or、(2)　とすぐ分かる。

回答No.1

mister_moonlight

＞変数を勝手に定数とみなして、そのまま終わっていいのでしょうか。

ここに質問者の根本的な考え違いがある。
無意識だろうが、xとyを変数と見ているが、この問題で変数はあくまで“t”。
xとyはtが条件を満たすための定数。xとyをaとbとして考えると良い。
定数であるxとyの満たすべき条件を求めるだけ。

解答で、“t^2-2xt＋y=0がt>0の範囲に少なくとも１つの解をもつ条件(x,y）を求めればよい”というのは、その意味に過ぎない。

蛇足だが、この問題は方程式の問題と考える以外に、包絡線の問題と考えられる。
つまり、t^2-2xt＋y＝0は放物線：y＝x＾2の上の点（t、t＾2）における接線の方程式に過ぎない。
従って、t＞0であるから、その接線の動き得る領域は、(1)x＞0、y≦x＾2　(2)　y＜0、→　(1)、or、(2)　とすぐ分かる。

お礼

回答ありがとうございます。

>xとyはtが条件を満たすための定数
>定数であるxとyの満たすべき条件を求めるだけ

という回答ですが、しかし、xもyも値は１つだけではなく、無数にありますよね？それを何故、定数とみなすことができるのでしょうか。まだ納得できません。

包絡線の問題の考え方は参考になりました。ありがとうございます。