1つデータを足した不偏分散の計算

質問

・n-1個のデータの不偏分散
・n-1個のデータの平均
が分かっている状態で、データを１つ追加します。

このときデータを追加した後の n個のデータの不偏分散は計算できますか？

自分で計算して出してみたんですが、
どっかで計算ミスしてるのか実際の値と合いません。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

・n-1個のデータの不偏分散=V[n-1]
・n-1個のデータの平均=E[n-1]
・個々のデータをa[1],…,a[n-1]
・1つ追加するデータをa[n]
とすると、

・a[1]+…+a[n-1]=(n-1)・E[n-1]
・(a[1]-E[n-1])^2+…+(a[n-1]-E[n-1])^2
　=(a[1]^2+…a[n-1]^2)-(n-1)・E[n-1]^2
　=(n-2)・V[n-1]
が成立。これより、

n・E[n]=(n-1)・E[n-1]+a[n]
(n-1)・V[n]=(n-2)・V[n-1]+(n-1)・E[n-1]^2+a[n]^2-n・E[n]^2

上の式からE[n]を求めて下の式に代入すれば、
v[n]を、V[n-1],E[n-1],a[n]およびnで表せます。

お礼

どうもありがとうございます。
検算したらぴったりでした。
自分がどこを間違えてたのか気になりますが締めますね。