二次方程式の解放についてご意見をください！

質問

下のイメージ欄にあげた二次方程式の解法についての質問です。
以下のURLに、私の解答をgif画像でおいておきましたので、
添削をいただくような形でご意見をいただけたらと思います。

　　　　http://kite-badge.hp.infoseek.co.jp/Question.html
（画像が大きすぎて見にくいのと、字がツブれかけている点、申し訳ありません）

＜問題の場面について＞

高校数学IIの「図形と方程式」分野のなかでの途中計算でして、
あとはxとｙを求めればよい…。という場面です。

問題に付いていた解答集を読みますと、以下の二次方程式が示された後、
「(1)，(2)より（x，y）＝・・・」と書かれているのみです。しかしながら私の解答が
最短であるとするならば、省略するにはややこしい二次方程式だと感じます。
省略される程度の、もっとスマートな解法があるのかな？と懐疑している状態です。

詳しい方でなくても、ほんの感想や、「私ならこうアプローチするかな」といったようなことでも
かまわないので、多くのご意見をいただきたいと思っています。
よろしくお願いいたします・・・。

（↓見た目では「簡単そうだ」と踏んだのですが、思ったほどうまくいかなくて・・・。）

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

x^2+y^2=144
(144/x)^2+(144/y)^2=625

xだけの式にすると、
625x^4-625*144x^2+144^3=0
あとは因数分解して、
(25x^2-36^2)(25x^2-48^2)=0
(5x-36)(5x+36)(5x-48)(5x+48)=0

回答No.3

hiccup

高校１年のときに練習するような計算で、仕方もバリエーションが豊富だから省略されているのではないでしょうか。

そう書いた手前、１つ紹介します。
12 が見えるので未知数と道連れにして煩雑さを軽減しましょうか。以下、見やすくするために A=(x/12)^2 、B=(y/12)^2 とすると

A + B = 1
1/A + 1/B = 625/144

ここから

A + B = 1
AB = 144/625

解と係数の関係より、A と B は次の二次方程式の解。

t^2 - t + 144/625 = 0

ここから

(25t)^2 - 25・25t + 144 = 0
(25t-9)(25t-16)=0

(A, B) = (9/25, 16/25) , (16/25, 9/25)

(x, y) = (±36/5, ±48/5) , (±48/5, ±36/5)

第一象限に限らなければ８組あるということですね。この場合、こんな書き方でいいかどうかは疑問。

回答No.1

tsukita

こんばんは。

私はkite_badgeさんの解きかたはとてもよいと思いました！

別の方法として、上式から
y^2=144-x^2
として、下式のy^2に代入してxだけの式をつくり、
まずはxの値からアプローチしてみるというのはどうでしょう？