加法定理で

質問

０≦ｘ＜２πのとき関数√３sinｘ-cosｘ=1の方程式の回答と解き方が知りたいです。

回答No.4

sanori

こんばんは。

cosｘ　＝　ｔ　と置けば、
sinｘ　＝　±√（１－ｔ^2）

±√３・√（１－ｔ^2）　－　ｔ　＝　１
±√（３・（１－ｔ^2））　＝　ｔ　＋　１
２乗して、
３・（１－ｔ^2）　＝　（ｔ　＋　１）^2
３　－　３ｔ^2　＝　ｔ^2　＋　２ｔ　＋　１
２ｔ^2　＋　ｔ　－　１　＝　０
２（ｔ　－　１／２）（ｔ　＋　１）
ｔ＝１／２　または　ｔ＝－１
cosｘ＝１／２　または　cosｘ＝－１

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

fef

先に答えられてしまったので，
私は発想法について述べておきます．

中学で学んだ2次方程式の解き方を思いだしてください．
因数分解を用いる解き方と平方完成を用いる解き方がありましたよね．

実は，あの二つのアイデアは，2次方程式に限らず，
さまざまな方程式を解く際に役立つのです．

それは三角函数の方程式でも同じで，
特に今回の問題では，平方完成と同様のアイデアを用います．
すなわち，複数か所に登場する変数 x を1か所にまとめることで，
より簡単に解ける方程式に帰着させます．

与えられた方程式の左辺を見て，
変数 x を1か所にまとめる方法が思いつきませんか？
三角函数の加法定理から導かれる公式がいくつかありましたね．
今回の式の形に適用でき，
変数を1か所にまとめることのできる公式はありませんでしたか？

お礼

なるほど。
今後の勉強に役立てたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

japaneseda

これは、加法定理じゃなく、、、、

合成を用います。きっと・・・

√３sinｘ-cosｘ=１⇔２sin(x-π/６）＝１でょ！！
　　　　　　　　　⇔sin（x-π/６）＝１/２
０≦ｘ＜２πより、
ーπ/６≦x-π/６≦１１π/６　ですから、

単位円で１/２のところを探しましょう。

お礼

わざわざ図を書いてもらって、ありがとうございます。
助かりました。

回答No.1

halcyon626

まずは左辺を合成します。
√３sinx-cosx＝２sin(x-π/6)

次に両辺を２で割ると
sinx(x-π/6)＝1/2
0<=x<2πより、-π/6<=x-π/6<11π/6
　　　　　　　-1<=sin(x-π/6)<=1
この範囲で sin(x-π/6)＝1/2なのは
x-π/6＝π/6, 5π/6
よって、x＝π/3, π
となります。

いまいちイメージが湧きにくいところがありますが図形をしっかりおさえておけば、あとは計算だけでだせます。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。