少しややこしい問題なんですがお願いします。

質問

A.B.Cの三人の内1人だけがランダムでプレゼントをもらえる事になった。AにBはプレゼントがもらえないと教えた。これでAは二分の一で自分がプレゼントをもらえると思い込んだ。この考え方は正しいか？

先生が今から一週間の内に抜き打ちテストをやると月曜日に言った。すると生徒の一人が先生は抜き打ちテストは出来ないといいました。なぜかと言うと、土曜日にやらない時点で日曜日にやると確定してしまうし、金曜日にやらないと土曜日にやると生徒にバレてしまうというような理論でした。この言い分は正しいか？

回答No.2

Rice-Etude · ベストアンサー

No.1です。補足にある通りであるなら「ランダムで誰にプレゼントをあげるか決まった後、その結果をある人が知り、その人がAに教えた」という解釈でよろしいでしょうか？

私は統計学の専門家ではないのですが、上記の前提であれば1/2でいいと思います。これはいわゆる「ベイズの定理」といわれるもので
P(B)=事象Bが発生する確率（事前確率）
P(B|A)=事象Aが起きた後での、事象Bの確率（事後確率）
と定義し、事象αを「Bがプレゼントをもらえない」、事象βを「Aがプレゼントをもらえる」としたとき
P(β|α)=P(α|β)×P(β)÷P(α)
となり、「Bがプレゼントをもらえないことが分かった後でのAがプレゼントをもらえる確率」がこのP(β|α)となります。

そこで、右辺を見ていきますが、P(β)は「（事前確率としての）Aがプレゼントをもらえる確率」なので1/3、P(α)は「（事前確率としての）Bがプレゼントをもらえない確率」なので2/3、P(α|β)は「Aがプレゼントをもらえると分かった後でのBがプレゼントをもらえない確率」なので1（Aにプレゼントがいく以上、他の二人は絶対にもらえないため）となります。よって、それぞれの値を代入すると
(右辺)=1×(1/3)÷(2/3)=1/2
となります。

お礼

このように詳しく答えていただき本当にありがとうございます。
なるほど、このような考え方もあるんですね。Rice-Etudeさんのご回答を自分でもしっかり考えてみます。

回答No.3

Mr_Holland

最初の問題は、＜モンティ・ホール問題＞に置き換えれそうですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

　この場合、扉の変更に相当する行為はできませんが、自分の選んだ扉（自分自身）が　残りの他の扉（Ｃ）より確率が低いことが分かります。

お礼

ありがとうございます。知りたい場所を教えていただき本当に参考になりました。

回答No.1

Rice-Etude

結構よく聞くパラドックスですね。一応簡単に反証ということで...

1問目の場合、教えてくれた人が正しいという確証がまったくない（確証があるのであれば、その前の「ランダム」という前提が嘘となるため）ですね。

2問目の場合、その生徒の一人は抜き打ちテストはできないと思い込んでいますが、これで例えば火曜に試験をやれば彼の思い込みとは異なる結果（すなわち抜き打ち成功）になっていますよね。

＃特にこの2問目は、死刑囚への抜き打ちの死刑執行という形でよく見る問題ですね。

なぜこういうパラドックスになるかは、考えてみると面白いので考えてみてください。

補足

回答ありがとうございます。1番目の本当の問題は、あなた様のおっしゃる通り、
A.B.Cの三人の死刑囚の内1人だけがランダムで釈放される事になった。看守はAにだけ秘密でBは死刑になると教えた。これでAは二分の一で自分が釈放されると思い込んだ。この考え方は正しいか？というものでした。表現が悪いと思い、言葉を変えました。Bが死刑になることは確定という条件です。この回答を統計学的な式で表すことって可能でしょうか？