2つの不等式について、同時に満たすXが存在しないａの範囲・・・

質問

さっそくですが、質問させて頂きます。
２つの不等式、
Ｘ^2－１０Ｘ－２４＞０・・・(1)
Ｘ^2－(ａ^2－ａ－１)Ｘ－ａ^2＋ａ＜０・・・(2)
を同時に満たすＸが存在しないようなａの値の範囲を求めよ。
[０３阪南大学]

と言う問題ですが、
まず、(1)について、因数分解して(Ｘ＋２)(Ｘ－１２)＞０より
Ｘ＜－２、１２＜Ｘ・・・(1)’
(2)については{Ｘ－ａ(ａ－１)}(Ｘ＋１)＜０で、
ａ(ａ－１)＜Ｘ＜－１もしくは－１＜Ｘ＜ａ(ａ－１)・・・(2)’

(1)’(2)’より－２≦ａ(ａ－１)≦１２であればよいので、
ⅰ)ａ(ａ－１)≦１２のときこれを解いて
(ａ＋３)(ａ－４)≦０より、－３≦ａ≦４
ⅱ)－２≦ａ(ａ－１)のとき、
ａ^2－ａ＋２＝(ａ－１/２)^＋７/４よりすべてのａについて成り立つ
よって、－３≦ａ≦４・・・(答)
となっています。

そこで私の質問はⅱ)の場合で、
「ａ^2－ａ＋２＝(ａ－１/２)^＋７/４≧０よりすべてのａについて成り立つ」の意味が分かりません。
「すべてのａについて成り立つ」ということは、同時に成り立つＸが存在しないという意味なのか。それとも、別の意味があるのか、全く分かりません。

分かる方教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.1

kopanda116 · ベストアンサー

－２≦ａ(ａ－１)
が成り立つとき、上式を変形すると
ａ^2－ａ＋２＝(ａ－１/２)^２＋７/４≧０
となります。　　　　　　　↑が抜けてます

この式は、実数aがどのような値をとっても成り立ちます。
このことは全ての実数aに対して(a-1/2)^2≧0が成り立つので明らかです。

それで、
ⅰ)の場合は、-3≦a≦4で成り立つ
ⅱ)の場合は、全ての実数で成り立つ
というそれぞれの場合についての積集合をとり、答えが-3≦a≦4となっています。

お礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー！！！。

回答No.4

noname#137826

文脈を補って多少丁寧に書くとこんな感じでしょうね。

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以下のaについての不等式

(a － 1/2)^2 + 7/4 > 0

全てのaについては成り立つ。したがって、これを変形した

-2 < a(a - 1)

もまた全てのaについて成り立つ。
したがって、aの値をどのように変化させても(全てのaについて)、xについての不等式(2)を満たす範囲の下限は -2 以下であることはない。
つまり、この範囲で不等式(1)(2)が同時に満たされることはない。

お礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー！！！。
(ポイントですが、順番に付けさせて頂きますので、ご了承願います)

回答No.3

debut

－２≦ａ(ａ－１)≦１２　の不等式において、
左の不等式、－２≦ａ(ａ－１)　を満たすａはすべての実数に
なる、という意味です。
だから、ａ(ａ－１)≦１２の解、－３≦ａ≦４と
－２≦ａ(ａ－１)の解、ａはすべての実数、
を合わせて、最終的な解　－３≦ａ≦４　が決まります。

＞すべてのａについて成り立つ
というのは、「ａ^2－ａ＋２≧０」は「すべてのａについて成り立つ」
ということです。途中に式の変形が挟まっているから主語がわかり
にくくなっているのかもしれません。

お礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー！！！。
(ポイントですが、順番に付けさせて頂きましたで、ご了承願います)

回答No.2

koutarou-h

すべてのａについて
－２≦ａ(ａ－１)
が成り立つよ、ということです。

同時に成り立つようなＸが存在しないためには、
－３≦ａ≦４
も満たしていないといけないのですよね？

なので答えは、
「すべてのａ」かつ「－３≦ａ≦４」→「－３≦ａ≦４」
となります。

こんな感じでいかがでしょう？

お礼

すばやい回答有難う御座いました。

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(ポイントですが、順番に付けさせて頂きますので、ご了承願います)