論理式

質問

f=AB+￢(C(D+E))の乗法標準形の求め方を過程つきで教えてください！
あと、(A◎B◎C)^d=A◎B◎Cの証明もどうかよろしくお願いします！
ちなみに◎は排他論理和記号です。

回答No.8

info22 · ベストアンサー

#2,#3,#5,#7です。
添付図、ピンボケでよく見えません。
ワードやパワーポイントなどに書いて、「Fn+Alt+PrtScr」で画面を切り取ってペイントに貼り付けて、たて３：横４の割合の図にしてJPGファイルに名前をつけて保存し、ここの画像としてアップすれは鮮明ではっきりした画像になります。

A#7の補足について
>あと、ひとつ計算チェックしてほしいんですがいいですか？？
>(A◎B)◎C=( A(￢B) + (￢A)B ) ◎ C = ￢( A(￢B) + (￢A)B )C+( A(￢B) + (￢A)B )(￢C)

>A◎(B◎C)=A◎( B(￢C) + (￢B)C ) =
(￢A)( B(￢C) + (￢B)C )+A￢( B(￢C) + (￢B)C )

ここまでは両方ともあっていますよ。

>　これって計算していくと両方の解が違うように思えるんですけどどこかおかしい場所ありますか？？
続きの計算で間違えてみえるかと思います。

続きを計算すると
>(A◎B)◎C=(A(￢B)+(￢A)B) ◎ C
>= ￢(A(￢B)+(￢A)B)C+(A(￢B)+(￢A)B)(￢C)
=(￢(A(￢B))￢((￢A)B))C+(A(￢B)+(￢A)B)(￢C)
=((￢A+B)(A+￢B))C+A(￢B)(￢C)+(￢A)B(￢C)
=((￢A+B)(A+￢B))C+A(￢B)(￢C)+(￢A)B(￢C)
=(AB+(￢A)(￢B))C+A(￢B)(￢C)+(￢A)B(￢C)
=ABC+(￢A)(￢B)C+A(￢B)(￢C)+(￢A)B(￢C)…(◆)

>A◎(B◎C)=A◎( B(￢C)+(￢B)C)
>=(￢A)(B(￢C)+(￢B)C)+A￢(B(￢C)+(￢B)C)
=(￢A)(B(￢C)+(￢B)C)+A((￢(B(￢C))(￢(￢B)C)))
=(￢A)B(￢C)+(￢A)(￢B)C+A(((￢B)+C)(B+(￢C)))
=(￢A)B(￢C)+(￢A)(￢B)C+A(BC+￢B￢C)
=(￢A)B(￢C)+(￢A)(￢B)C+ABC+A(￢B)(￢C)
=(◆)

チャンと一致しました。

補足

すいません、添付図次からちゃんと作成します＞＜
あと、俺の計算がミスってましたね。。。
間違った場所は把握できたんでよかったです！
どうもありがとうございました。また何かあったときはよろしくお願いします。。

回答No.7

info22

#2,#3,#5です。

A#3の補足質問
>f^d＝￢(￢A◎￢B◎￢C)　？

￢(X◎Y)=(X◎￢Y)=(￢X◎Y)
の式を使えば￢が中に入れられると思いますが？

=￢(￢A◎(￢B◎￢C)) なので
=￢A◎￢(￢B◎￢C)=￢A◎((￢(￢B))◎￢C)
=￢A◎(B◎￢C)=￢A◎￢(B◎C)=A◎(B◎C)=
or
=(￢(￢A)◎(￢B◎￢C))=A◎(￢B◎￢C)=A◎(B◎C)=

ここで
(￢X◎￢Y)=￢(X◎￢Y)=￢(￢(X◎Y))=X◎Y
X◎￢Y=￢(X◎Y)
も覚えておいた方がいいでしょう。

補足

すごいわかりやすい解答ありがとうございます！
きちんと重要変形のとこは押えました。
あと、ひとつ計算チェックしてほしいんですがいいですか？？
(A◎B)◎C=( A(￢B) + (￢A)B ) ◎ C = ￢( A(￢B) + (￢A)B )C+( A(￢B) + (￢A)B )(￢C)

A◎(B◎C)=A◎( B(￢C) + (￢B)C ) =
(￢A)( B(￢C) + (￢B)C )+A￢( B(￢C) + (￢B)C )

これって計算していくと両方の解が違うように思えるんですけどどこかおかしい場所ありますか？？
お願いします。

回答No.6

Tacosan

「いちばん外にある否定を括弧の中に入れたら◎はどう変化するんですか」って, #5 に挙がっている式は無視? まあ, 「どうして A◎B◎C と書けるんだろう」と悩むと, ある時点で一瞬にひらめくんだけど.
ちなみに「排他的論理積」はないけど inclusive and は存在する.

補足

すいません、、あの式使ってませんでしたね。。
途中でつまっちゃったんですけど、
f^d=(￢A◎B)￢(◎C)=(AB+￢A￢B)￢(◎C)
からどうしたら良いですか？
あと、ここまで計算あってますか？？

回答No.5

info22

#2,#3です。
>○双対関数
>でした。
>出力z = f(a1,…,an)のとき、それぞれの変数の否定とその関数自体の否定、
>もしくはAND,ORをひっくり返した論理式です！
>後者のが断然楽ですね！
そうであればもう解決済みですか？
解決済みでなければ、あなたの解答を補足に書いてもらえれば
チェックします。

（参考）以下の関係は重要なので覚えるようにして下さい。
A◎B=A￢B+￢AB
￢(A◎B)=(A◎￢B)=(￢A◎B)=AB+￢A￢B

（注意）宿題や課題は丸投げしないで、個々に質問する前に教科書や講義（授業）ノート等で基礎的なことは勉強し、自力でできるところまでは解いてその過程を書いて、わからない箇所だけ質問するようにして下さい。
自分で教科書も見ないで質問を丸投げすることはあなたのためになりませんよ。

補足

すいません！参考の公式まで載せてもらって！
今やってみてたんですけど、f^d＝￢(￢A◎￢B◎￢C)
として変形してたんですけど、いちばん外にある否定を括弧の中に入れたら◎はどう変化するんですか？
排他論理積というものがないし、どうしたらいいか教えてもらえませんか？お願いします。

それと具体的な証明法は変形で右辺を作るってゆう方法で合ってますかね？？

あと、初めの問題の主加法標準形への変形なんですが、ABCDEの論理積(最小項)のみの論理和にするってことで合ってますか？？

質問攻めで申し訳ないです。。

回答No.4

Tacosan

「二日前からペラペラと教科書を見ただけ」って, 何で突然 2日前から教科書を見だすんだろう. 学ぶ気, ある?
それはさておき「双対」の意味が分かっているなら左辺の双対をゴリッと計算して右辺に等しいことを示せばいいだけ. 「ちゃんと勉強した人間」にとってはちょっと面倒だけど難しいことではないですね.

補足

正直論理回路は怠けて続けてきましたね。。
なんかあまりやる気になる科目じゃなくて。。
ちょっと頑張ってみます！

回答No.3

info22

>論理式の二行目から三行目への手順をもう少し詳しく教えてくれませんか？？
やり方の手順がすべてです。
参考URLの乗法標準形の所にカルノー図から乗法標準形の論理式をつくる作り方が載っていますので、そこをご覧下さい。
乗法標準形の式を作るときは
A=0の場合は、論理式の中では　A　と書き、
A=1の場合は、論理式の中では　￢A　と書いて
論理式の各和項を作る。
ただそれだけです。

それ以上の説明は不可能です。後は例題をこなしてなれるだけです。
そして、A#1に書いたように、加法標準形と乗法標準形の式に
論理変数の値を具体的に与えて計算して、真理値表が同じになることで
納得するしかないでしょう。

「^d」について説明がなかったのでA#2では、べき乗の意味かと勝手に推測して、回答のアドバイスをしました。しかし、A#1の補足で
>dは相対関数を意味してます。
とのことですので解釈が間違っていましたのでA#2の最後の行の
>後半）dについて数学的帰納法を適用する。
は無視（削除）して下さい。

論理式の相対関数の定義をお書きいただけませんか？

お礼

ありがとうございます。少しURL先を覗いて勉強してきます！
訂正で
×相対関数
○双対関数
でした。
出力z = f(a1,…,an)のとき、それぞれの変数の否定とその関数自体の否定、もしくはAND,ORをひっくり返した論理式です！
後者のが断然楽ですね！

回答No.2

info22

丸投げしないでやれる所は、自力でやる。
わからない所を質問する場合はやった所までの解答の過程を補足に書いた上で、行き詰っている所の何が分からないか、質問して下さい。
全く分からず他力本願なら諦めて、教わった先生に訊いて下さい。

> f=AB+￢(C(D+E)) …(●)
=AB+￢C+￢(D+E)=AB+￢C+￢D￢E
=(A+￢C+￢D)(B+￢C+￢D)(A+￢C+￢E)(B+￢C+￢E)　…(■)
（参考）
やり方の手順
手順１）与えられた論理式を加法標準形になおす。
手順２）ゼロになるケースを網羅する。
手順３）各ゼロになるケースを負論理の和で表す。
手順４）すべてのケースの負論理和の積をとる。

合っているかは、自分で確認して下さい。
→（●）と(■)の真理値表が一致するか確認する。

後半）dについて数学的帰納法を適用する。

参考URL：

http://www.ie.u-ryukyu.ac.jp/~wada/digcir03/boolean2.html

補足

丸投げすいません！
二日前からペラペラと教科書を見ただけで論理回路の勉強ほとんどしてなくて＞＜
論理式の二行目から三行目への手順をもう少し詳しく教えてくれませんか？？
お願いします。

回答No.1

Tacosan

まず乗法標準形にするのは, 努力と根性と力技でなんとかする. 分配法則とかをガシガシ使っていくだけ.
下のやつは ^d の意味がわからんのでパス.

補足

そうですか。ありがとうございます！
下のdは相対関数を意味してます！