おしえてください

質問

数学でわからない問題があって。
おねがいします。

１から１３までの自然数の積、すなわち｛１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１×１２×１３｝の値を６でわり商を求めて、さらに、その商を６でわり、新たな商を求めて、このように、１から１３までの自然数の積を６でわることを繰り返すときに、はじめてあまりが０でなくなるのは、６でわった回数が何回目のとき？

おねがいします

回答No.8

arukamun · ベストアンサー

１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１×１２×１３
は
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×１１×（２×２×３）×１３
と同じですね。
２は１０個
３は５個
ありますね。
という事は２×３＝６なので、３が５回で無くなってしまいます。
よって５回までは６で割り切れるという事です。
よって次の６回目は割り切れません。

答え　６回目

お解りいただけましたでしょうか。

回答No.7

ymmasayan

No.2のymmasayanです。補足にお答えします。

＞＞この式の中に隠れている２の個数と３の個数を数えてみてください。
＞＞その少ない方の個数の回数までは６で割れますよね。

＞できれば具体的におしえてくれませんか？
＞答えは、６回目です。

２が隠れているのは、２に１個、４に２個、６に１個、８に３個，１０に１個、
１２に２個で合計１０個です。
３が隠れているのは、３に１個、６に１個，９に２個，１２に１個で合計５個です。
２と３で６が作れますから作れる６は５個ということに成ります。
したがって６で割れる回数は５回。
６回目には余りが出ます。

回答No.6

hinebot

#3（#4)です。
たびたび済みません。
#4は無視してください。答えが6回目と聞き、数え間違ったと勘違いしました。
#3の回答で
>よって３＋２＝５回　が答えですね。
ここ以外はあってます。３＋２＝５回で、すぐに答えに結論付けたのが間違いでした。
#3の回答で、上記の行を下記に置き換えさせください。
-------------------------------------------------
よって３＋２＝５回、つまり６で５回割って割り切れることになります。
問題は「はじめてあまりが０でなくなるのは」なので、答えはこれに１を加えて　５＋１＝６回目　となります。
-------------------------------------------------

ちなみに、#1さんは
>×２×３
>×６
>×１２
>で ４回は 割れます。
これが、３回であること。（１２＝６×２　で２回と勘違いされたものと思われます。）
さらに、
>次は
>×４
>×９
>で ３６なので ６回分
の部分で、３６＝６×６　で６回分と勘違いされたのだと思いますが、実際は６を２回掛けているわけですから２回分であることの、２箇所が誤りです。

よって３回と２回で５回となり、次の６回目が答えという訳です。

回答No.5

taknt

あ 勘違いでした。

＃１の回答を修正します。

４×９は ３６ で これは ２回分でしたね。

だから ６回です。

回答No.4

hinebot

#3です。
慌てて数え間違いました。

>まず、２×３、６、１２＝６×２　で３つあります。
３つじゃなく４つですね。
なので、
>よって３＋２＝５回　が答えですね。
これも　４＋２＝６回　です。
また、
>与式＝２＾10×３＾５×５＾２×７×１１×１３
>　　＝（２×３）^５　×２＾５×５＾２×７×１１×１３
これも、
与式＝２＾10×３＾６×５＾２×７×１１×１３
　　＝（２×３）^６　×２＾４×５＾２×７×１１×１３
でした。申し訳ありません。

回答No.3

hinebot

素因数分解って分かりますか？
例えば
６＝２×３
８＝２×２×２（＝２＾３　：２の３乗）
１２＝２×２×３（＝２＾２×３）
という具合に、素数の積の形に表すことです。

問題の場合、
「１から１３までの自然数の積、すなわち｛１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１×１２×１３｝」
を素因数分解して、その中に６＝２×３がいくつあるかを調べればよいわけです。
もっとも、いちいち素因数分解しなくても６＝２×３がいくつあるかは分かりますが。

１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１×１２×１３
まず、２×３、６、１２＝６×２　で３つあります。
残りを考えると
１×４×５×７×８×９×１０×１１×１３
ここで、９＝３×３で３が２つあり、２を約数とする偶数は２つ以上ありますので　２×３はあと２つあることが分かります。
よって３＋２＝５回　が答えですね。

ちなみに、ちゃんと素因数分解すると
与式＝２＾10×３＾５×５＾２×７×１１×１３
　　＝（２×３）^５　×２＾５×５＾２×７×１１×１３
となります。

補足

おしえてくれてありがとうございます。
参考書によると６回目と書いてあります。

回答No.2

ymmasayan

ヒントです。
この式の中に隠れている２の個数と３の個数を数えてみてください。その少ない方の個数の回数までは６で割れますよね。

補足

すいません。
知識がなくて、できれば具体的におしえてくれませんか？
答えは、６回目です。

回答No.1

taknt

単純に考えて
×２×３
×６
×１２
で ４回は 割れます。

次は
×４
×９
で ３６なので ６回分

以上 ４回と６回で １０回。
１１回目に あまりが ０で なくなるでしょう。

補足

教えてくれてありがとうございます。
答えは、6回目の時と書いてありますが。。。。