タグチメソッドのデータの2乗和の分解について教えて下さい

質問

タグチメソッドの勉強を始めたのですが、わからないことがあります。
データの2乗和の分解について、テキストに下記のような記述があるのですが、
「比例項の変動S(β)は、～である」の所、何故そうなるのですか？

・・・（略）
入出力は比例関係にある
y=β・M
こうした場合の入力信号M(1)～M(k)に対してr(0)回の繰り返しデータがあり、各信号因子の水準での合計値をy(1)～y(k)とすれば、データの全2乗和S(T)は、以下のとおりである。
S(T)=y(11)^2 + y(12)^2 + y(1k)^2 +・・・+y(r(0)k)^2
上式の中に占める比例項の変動S(β)は、
S(β)={ M(1)・y(1) + ・・・+M(k)・y(k)｝^2／r(0)・{ M(1)^2 + M(2)^2 +・・・+M(k)^2｝
である。したがって、誤差の変動S(e)は全2乗和S(T)から比例項の変動S(β)を差し引くことによって
・・・・（略）

（）は、テキスト上では添え字になっています。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

やっていることは実はすごく単純なことなんですが、不親切きわまりない説明ですね。

入出力は比例関係にある
y=β・M
と仮定したわけですが、比例係数βは不明です。
というわけで、まず最初に、実験データからβを最小２乗法で推定します。実験で得られた値と、理想値と２乗誤差の和
Σ_[m=1～k] Σ_[n=1～r(0)] (y(n,m) - β・M(m))^2
を最小にするようにβを決めると（上式をβで微分して傾きが０になるところを探す）
βの推定値 = {Σ_[m=1～k] Σ_[n=1～r(0)] M(m)・y(n,m)} / { Σ_[m=1～k] r(0)・M(m)^2 }
　= {Σ_[m=1～k] M(m)・y(m)} / r(0)・{Σ_[m=1～k] M(m)^2}　　… y(m) = Σ_[n=1～r(0)] y(n,m) より
　= {M(1)・y(1) + ・・・+ M(k)・y(k)}^2 / [r(0)・{M(1)^2 + M(2)^2 +・・・+M(k)^2}]
になります。

で、比例項の変動S(β)は、y=β・M が理想的に成り立つとした場合の全２乗和のことですが、このβを上で推定したものとすれば
S(β) = Σ_[m=1～k] Σ_[n=1～r(0)] { (βの推定値)・M(m) }^2
　= (βの推定値)^2・r(0)・{Σ_[m=1～k] ・M(m)^2}
　= {M(1)・y(1) + ・・・+ M(k)・y(k)}^2/ [r(0)・{M(1)^2 + M(2)^2 +・・・+M(k)^2}]
と、質問文にある式がでてきます。

正直、タグチメソッド関連の本は、数学的な話はものすごくアバウトな本が多いので、タグチメソッドの背景の理論を真面目に勉強するには向いてません。というか、学問の教科書としてみるとまとまな教科書の形をなしてないものがほとんどです。
とくに数学的な道具（直交表やＳＮ比など）について、途中式が省略されているだけならまだしも、もっとも重要な情報である「どういう系を仮定しているのか」（線形性がなりたつ、ノイズが正規分布をしているなど）を明らかにしないまま議論がすすんでいて、どういう場合に理論を適用できるのか（あるいは、逆に、この理論をそのまま適用できないのはどういう場合なのか）が全くわからない場合が多いです。
前提を明らかにしない議論てのは、エセ科学の典型的な論法だと思います。

すいません。愚痴が長くなりました。というわけで理論を知りたいなら、きちんとした統計の本を読むことをお勧めします。
ちなみに、タグチメソッドの効用自体を否定しているわけではないので念のため。きちんと使えば非常に有用な方法論だと思います。

回答No.2

rabbit_cat

わかると思うけど

βの推定値 = {Σ_[m=1～k] Σ_[n=1～r(0)] M(m)・y(n,m)} / { Σ_[m=1～k] r(0)・M(m)^2 }
　= {Σ_[m=1～k] M(m)・y(m)} / r(0)・{Σ_[m=1～k] M(m)^2}　　… y(m) = Σ_[n=1～r(0)] y(n,m) より
　= {M(1)・y(1) + ・・・+ M(k)・y(k)}^2 / [r(0)・{M(1)^2 + M(2)^2 +・・・+M(k)^2}]

は、

βの推定値 = {Σ_[m=1～k] Σ_[n=1～r(0)] M(m)・y(n,m)} / { Σ_[m=1～k] r(0)・M(m)^2 }
　= {Σ_[m=1～k] M(m)・y(m)} / r(0)・{Σ_[m=1～k] M(m)^2}　　… y(m) = Σ_[n=1～r(0)] y(n,m) より
　= {M(1)・y(1) + ・・・+ M(k)・y(k)} / [r(0)・{M(1)^2 + M(2)^2 +・・・+M(k)^2}]

の間違いです。（最後の行の分子が違う）
念のため修正。