複利計算の問題

質問

私自身は文系の学部に所属しているのですが、あまり数学の知識を問わないという理系の講義を受講してみたら、常用対数表（←この表も初めて見ました）を使った計算を講義の課題で出されてしまいました・・・。本当に数学の知識がなく、困っています。問題は以下の通りです。よろしくお願いします☆

　問題：　一週間で7％で一週間複利のお金を借りてしまった。一年後に思い出して返済することにした。元金合計いくら払わなければならないか、一年間を52週間（364日）として計算しなさい。（←　常用対数表を使って解きなさい）

回答No.1

ymmasayan · ベストアンサー

元利合計＝元金×（１＋０．０７）＾５２

ですね。

両辺の対数を取ると
ｌｏｇ（元利合計）＝ｌｏｇ（元金）＋５２×ｌｏｇ１．０７

ここからは自分で計算してください。
右辺を先に計算して、結果から対数表を逆引きすると答えが出ます。

回答No.3

nubou

しかし関数電卓が有るのが当たり前の時代に時代遅れ常用対数表を持ち出して解けというのは頭の悪い先生に教わっていますね
相当年輩のシーラカンス教授でしょう
１週感でα％の複利でｓ円をｎ習慣借りれば
ｓ・（１＋α／１００）＾ｎ
円返すことになります
α＝７，ん＝５２だから
３３．７２５３４７９９・ｓ円です
２０年前の関数電卓で１９．５秒ででました
（ほとんど手入力の時間）
対数表を使うとは表計算ソフトが無かったときの経済学教室の授業みたいですね

お礼

みなさん、早速のお返事有難うございました☆書き込んで頂いた事を参考にしてレポートを作成したいと思います。

回答No.2

Aquoibonist

問題の設定をもう少し一般化して、1週間でr％の利息が複利でかかるとしましょう。
最初にお金をa円(元金)借りたとすると、1週間後の状態では利息がa×r円かかるので、返すお金は結局a+ar円＝a×(1+r)になります。
次に2週間後ではa+ar円にr%の利息がかかるので、結局払わないといけないお金は
a+ar+r×(a+ar)=a(1+2r+r^2)=a×(1+r)^2
同様に3週間後では
a(1+2r+r^2)+r×a(1+2r+r^2)
=a(1+3r+3r^2+)=a×(1+r)^3
これを繰り返すと(繰り返す必要はありませんが)
結局n週間後に払わないといけない金額は
a×(1+r)^nで与えられることになります。
結局(1+r)^nがいくらかを求めればよいのです。
(1+r)^n=xとおくと、両辺の常用対数(底が10の対数)をとってn×log(1+r)=logx
今、問題の設定からr=0.07だから常用対数表から
log(1.07)=0.029とわかるので、n=52なので、
n×log(1+r)=52×log(1.07)=52×0.029=1.508
これよりx=10^(1.508)=10×10^(0.508)
10^(0.508)=3.22より(常用対数表を逆に引くとわかります)
x=32.2
結局、支払わないといけない金額は元金をaとして
32.2×a円ということになります。
間違っていたらごめんなさい。

補足ですが常用対数logには以下のような性質があります。
(a,bはともに正の実数、nは実数とします)
１）log a=log bならa=b
２）x=log aならばa=10^x　
３）log a+log b=log (ab)
４）log a-log b=log (a/b)
５）log (a^n)=n×log a
上の回答で
「(1+r)^n=xとおくと、両辺の常用対数(底が10の対数)をとってn×log(1+r)=logx」
というところでは、常用対数をとったあとに、５）の性質を使ってn乗を前に下ろしています。

参考URL：

http://member.nifty.ne.jp/sokuyama/golf/log.htm