個人的な感覚では
中学・高校での数学の学力というのが
「計算力」
(問題を出された時に、ささっと方程式を解いたり、素早く計算をする力。時間内に与えられた課題をどれだけ素早く、ミス無くこなせるか)
と
「数学的に物事を考える力」(以下「数学力」とします。)
(見たことのない、未知の問題に対して自分で考えて立式する能力)
の二つの力を掛け算したものである気がします。
計算力も数学力も両方なければ数学が出来ないのは当然ですが
どちらかだけが出来てもテストで点が取れるようにはなれません。
計算力があれば
基本的な問題はスラスラ解けるでしょうが
難関高校・大学等が出す「難問」を前にしてお手上げになってしまうでしょうし
数学力があれば
難関高校・大学が出す「難問」から立式することができても
制限時間内に式を早く正確に解くことができなければ得点には結びつきません。
そこで(私の個人的な意見ですが)計算力と数学力を上げる方法の一例を以下に書いておきます。
(1)計算力の上げ方
計算力といっても
じつはいろいろあります。
数学をやる上で絶対に必要なものは
・四則計算(＋・－・×・÷)
これは当然ですが
計算力
というのを
少し拡大して
「素早く方程式を解いて、ミス無く答えを出す能力」
と考えてやると
中学・高校で習う
「公式」「定理」を要領よく使って
「計算式を工夫して簡単にする」
ことが重要になってきます。
中学生で言えば、例えば
・連立方程式を解く能力
・因数分解と二次方程式の解の公式
・解と係数の関係
・平面図形の種々の定理
等
高校生ならば
数学IAでは
・3次方程式以上の因数分解
・二次関数の平方完成
・三角比の種々の公式(sin^2x+cos^2x=1など)
・論理と集合で学ぶ「補集合」や「対偶」
等
数学IIBでは
・因数定理と剰余定理
・点と直線の距離
・線形計画法
・円と束
・三角関数の種々の公式
・指数対数の扱い
・微分積分
・接線の公式
・ベクトルの結合と内積
・直線の方程式と法線ベクトル
・Σの計算
・数列と漸化式
等
数学IIICであれば
・極限
・微積の種々の公式
・面積と区分求積法
・回転体・非回転体の体積
(・種々の近似)←最近の大学入試では知らなくても出来るような誘導が付いているケースが多いです
・速度と曲線の長さ
・微分方程式
・行列式の計算
・行列のdeterminant
・零因子
・ケーリー・ハミルトンの定理
・固有値と固有ベクトル
・行列の対角化
・行列のスペクトル分解
・二次曲線の一般形とその性質
・曲座標表示と角面積
等
・
・
・
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やたら長くなってしまいましたが
数学にはジャンルによって
「色々な」公式や定理があります。
なんでそんな定理があるかといえば大概は
「知ってると計算が早くなって解くのに便利だから」
です。
なので
数学の授業で公式を習ったら
「どうやったら計算が楽になるか」を考えて問題を解くのが一つポイントになります。
もちろん
ベクトルの内積
のように
「変わった」計算もあります。
まずは慣れましょう。
慣れないと
計算が遅い→考え方が分かっても素早く問題が解けない→問題を解くのに時間がかかる→結局数学がイヤになる
という負のスパイラルに陥ります。
数学を勉強していて新しいジャンルに入ったならば
必ず
「公式」「定理」を
「反射的に使える」ようにしましょう。
さて
随分長くなってしまいましたが
数学力の話をしたいと思います。
数学力を鍛えるには
私以外の皆さんが回答しておられるように
「基本から『どうしてそうなるか』を積み上げていく」ことが重要です。
たとえば
前に書いた公式や定理は
基本的に全て「証明」があります。
「証明」をできるだけ丁寧に学んでください。
「○○の公式を証明せよ」
という問題が出たときに困らないようにするためだけではありません。
前に書いた公式や定理のなかには
「数学で使う考え方」が詰まっています。
どれも昔の(その当時の)天才と呼ばれた数学者達が編み出した数学の考え方の数々なので
その考え方を学べれば、学校や入試に出てくる問題は(たとえ難しいものでも)大体何とかなってしまうと思います。
後は「定義」を丁寧に覚えましょう。
定義そのものが数学の問題の考え方に影響することも多いですし
特に高校以降の数学は日本語が難しいのが特徴で
数学語
といってもいいぐらいだと思います。
メゲずに「数学語」の読解を頑張ってください。
以上です。
大変長くなってしまいゴメンナサイ。。。
お礼
とても丁寧な回答をありがとうございます。 自分のことを書き忘れていました。 中二女子です。 そうですね。数学はとても難しいですが、解けたら楽しいですよね。 数学に読解力はとても大切だということがわかりました<(_ _)> また、よろしくお願いします。