回転数を求めたいのですが、うまくいきません。

質問

内径60cm、高さ120cmの円筒形容器に半分だけ水を入れておき、その容器を鉛直のまわりに回転させたとき、回転数がいくらになったら水があふれ始めるか。

という問題で、答えは　154[rpm]　なのですが、何回やってもこの答えにならず、困っています。助けてください。お願いします。

回答No.2

noname#96417

水面の断面の傾きは遠心力に比例し、重力加速度に反比例します。遠心力は回転軸からの距離（x）に比例しますから、結局、水面の傾きは x に比例します。それは放物線であり、水面は放物面を描きます。その放物線が円筒の上端を通るという条件と、水の体積が円筒の容積の半分であるという条件（計算上は水がない部分の体積を考えた方が簡単）から、回転角速度（と放物線）が求められます。

もし質問者さんが得た値が正解の半分になっているのなら、それは内径を内半径としているからでしょう。

回答No.1

yokkun831

>何回やってもこの答えにならず・・・

どのように計算されましたか？
私の場合、次の手順で計算して答えが合いました。
(1)　円筒座標で(r,φ,z)にある質点mが受ける力を、円筒とともに回転する立場で書き出します。
(2)　力を積分して、回転系の有効ポテンシャルU(r,z)（遠心力のポテンシャルを含む）を求めます。
(3)　水面は等ポテンシャル面になることから、放物面の方程式z(r)を導出します。
(4)　回転体の体積を求める要領で、等ポテンシャル面より下の体積を求め、結果が円筒の体積の半分であることから、水面におけるUを求めます。
(5)　上の結果をあらためてz(r)に代入し、z(a)=4a（水面の端が容器の縁に達する条件、aは半径）から回転数を求めます。

結果は、60/π・√(2g/a) = 154 [rpm] となりました。