数直線上で０の次は何ですか？

質問

ヒマなので学生時代に中途半端に習った量子力学を勉強しようと思い、
2ページ目の「数の拡張」でいきなりつまずきました。
数の概念が全くわかってないことを漸く自覚しました。
０から1の線分の間にある無限大ある有理数の点を取り除いた後にも
不可算のの無理数があるのですね？
さっぱりイメージがつかめません
この点というもの便宜的にあるだけで実際には存在しないのですね
数っていうものは一体どんな存在なのですか？
線分の０のとなりには何があるのですか？

どうかご教授のほどよろしくお願いいたします。

回答No.3

proto · ベストアンサー

＞０から1の線分の間にある無限大ある有理数の点を取り除いた後にも
＞不可算のの無理数があるのですね？
0から1の数直線上にある無数の有理数の点を取り除いた後にも、不可算個の無理数がある、という言い方がより正確かな？
まぁ、大まかな認識はそれであっています。

＞この点というもの便宜的にあるだけで実際には存在しないのですね
"実際に存在する"というのをどう捉えるかにもよりますが、
0<1/√2<1ですから、0.7と0.71の近くに無理数1/√2が示す点が実際に存在していると思いますよ。

＞数っていうものは一体どんな存在なのですか？
簡単に言うと0とか1とか1/3とか√2とかπとかは全部数です。
正確な話が知りたいなら自然数なら『ペアノの公理』、実数なら『デデキント切断』で調べてください。

別の言い方をすると、何かしらの量を表しているものが数です。
よく「虚数って何？」という質問に対して「理論上だけで現実には存在しない数」と答える人が居ますが、実数だって現実には存在しません。
現実に在る物ではなく、イメージ上の何かの量を表すものが数です。

＞線分の０のとなりには何があるのですか？
自然数や整数には隣の数というものが存在しますが、有理数や無理数や実数には隣の数というものは存在しません。
0に凄く近い有理数(例えば1/10000000000)を取ってきたとしても、それよりも更に0に近い有理数(例えば1/100000000000)が存在します。
どこまで行ってもキリはありません。どんな有理数を選んでもそれより更に0に近い有理数が存在します。
無理数についても同じです。どんなに0に近い無理数pを一つ選んでもそれよりも更に0に近い無理数(例えばp/2とかp/10とか)が存在します。

そういう意味では0のすぐ隣の有理数や無理数というものは存在しません。
数学的に言うと、有理数も無理数も数直線上にぎっしり並んでいて稠密であるといいます。
この有理数や無理数や実数の『稠密』という性質が、数直線状に飛び飛びに並んでいる整数とは絶対的に違っているところです。
このことは、デデキント切断を使って自然数→整数→有理数→無理数と順番に構成していく過程を学ぶとイメージしやすくなります。

回答No.4

notnot

εδは十分理解していますか？
「連続」について理解していますか？
このあたりがわからないと、大学一年の微積分の教科書からやり直した方がいいでしょうね。

回答No.2

sanori

こんばんは。

０と同様、１は数学で最も重要な定数の一つです。
１という定数があって初めて他の数が意味をなすと考えてよいと思います。
πは１のπ倍、ｅは１のｅ倍です。

無論、０と１との間に何かの数があってもよいので、「０の隣」にこだわる必要はありません。

納得していただけるか不安ですが、ご参考までに。

回答No.1

nag0720

＞線分の０のとなりには何があるのですか？

「となり」の定義は？