助けてください。

質問

教科書の練習問題の中に以下のような問題が出され
１，(-1R)・a=-a=a・(-1R)
２，-(a・b)=(-a)・b=a・(-b)
３，a・(b-c)=a・b-a・c, (a-b)・c=a・c-b・c
４，(-a)・(-b)=ab
しかし，模範解答がなくこのようなあたりまえの公式をどのようにして示したらよいのか分かりません。
最初の一問目のとき方だけでも教えていただけたらそれに沿って解けるかもしれませんのでぜひお願いします。
ちなみに教科書とは大学の代数学の教科書です。
お願いします。

回答No.2

kannyu · ベストアンサー

ここは大学で代数を学ぶときに最初につまづくところですね。
あたりまえの公式と思う感性は正しいですよ＾＾
高校までは漠然に「こういうものだ」としてしか教えてくれないとこですし。

大学での数学はそういう曖昧さがありません。
したがって、定義と仮定がとても大切になります。
これは代数だけでなくすべてに共通することなので忘れないでください。

今回の問題もきっと本当は
「Rを環とし、その乗法に関する単位元を1Rとする。
　このときRの元a,b,cに対しつぎの1～4が成り立つことを示せ」
というくだり（仮定）があったはずです。そこが大切です。

また、定義に対する理解が足りないと思われます。
まず、環とはなにか？をしっかりと把握してください。
この理解が薄いと、いままで習った計算で
　(-1)*2=-2=2*(-1)
じゃないの？と見えてしまいます。
実はその今まで習ってきた、整数とか有理数とか実数、複素数という集合や
そこにおける演算(+,*)は非常によくできた(!?)環の例なのです。
だからもちろん今回示すべきものも「あたりまえ」に成り立ちます。
（したがって高校までは「あたりまえ」のものとして漠然と教えられます。）

また、どうしても実数での+とか*がぬけない場合は
実数の足し算掛け算ではなく、集合R上に
関数
+: R × R → R
(a,b) → c
が集合に定義されていてこの集合における加法としていると考えてみてください。（乗法も同様）

話ばかりもなんですから、3までの回答例をのせときますね。
4はもう一度理解したうえで確認しながら解いてください。

1はojamanboさんが答えて下さっていますので補足だけです。
0*a = (1 + (-1))*a
　　= 1*a + (-1)*a　　(定義:環の加法+と乗法*は分配法則が成り立つ）
　　= a + (-1)*a　　　(定義:環の乗法単位元1は常にアーベル）

Proof of 2::
-(a*b) = (-1)*(a*b)　　　　(1より)
= ((-1)*a)*b　　　　　　　(定義:環の乗法*は結合法則が成り立つ）
= (-a)*b　　　　　　　　　(1より)

-(a*b) = a*(-b) も同様

Proof of 3::
a*(b-c) = a*b + a*(-c)　　(定義:環の加法+と乗法*は分配法則が成り立つ）
= a*b - a*c　　　　　　　　(2より）

(a-b)*c = a*c - b*c も同様

Proof of 4::
自分で解いてみてくださいね

回答No.1

noname#24477

－ａとは加法におけるａの逆元、すなわち
ａ＋（－ａ）＝０
ですね。

－１＊ａ＝－ａ？
というのは１の逆元－１（すなわち１＋（－１）＝０である－１）をかけるとａの逆元になるか、ということです。

０＊ａ＝（１＋（－１））＊ａ＝ａ＋（－１）＊ａ

よって
ａ＋（－１）ａ＝０だから
（－１）ａ＝－ａ
ＯＫです。

ところで－１ＲのＲは集合の単位元というような
意味でしょうか？説明がないと分かりません。

補足

ojamanboさんの言うとおりRとは集合の単位元という意味です。説明不足ですみません。
答えていただいたのを参考にしながらがんばってみます。