6-18 高校数学の確率です
質問を他の方にして理解できない部分があったのでその部分を是非教えて下さい
xy平面上に点P[0],P[1],P[2],....P[n]を次のように決める まずP[0]は(0,0)とし一般にP[k](k=0,1,2,,,,n-1)が(a,b)であるとき、P[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)であり、いずれであるかは等確率(=1/2ずつ)とする 折れ線P[0]P[1]P[2],,,P[n]と2つの直線y=0,x=nが囲む図形の面積の期待値をE[n]としてE[5]を求めよ
解説 E[5]といっても平凡に考えれば2^5通りについて調べなければなりません ところが、次のように一般のE[n]を求める巧妙な解法があります
P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表してみると
E[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)=E[n-1]+1/2・(n-1/2)
よってE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4(E[1]-1/4=0)
したがってE[n]=n^2/4 よってE[5]=25/4
注 たとえば、サイコロで出る目の数の期待値は
1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)というように奇遇に分けて計算することができますが上で漸化式を立てるときも、これと同じような事をしているわけで決して''和の期待値は期待値の和''などの高級な知識を使っているわけでは有りません なお、上の結論は
P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており納得がいきますね
以下疑問点です
E[n]をE[n-1]で表すときにE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)で求めているのですが
何でこの式になるのか分かりません
そしてE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)この式をE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4
にどうやって変形してのか分からないです
なお、上の結論はP[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており
の所なのですが、何故そのような事が言えるのか分からないです
と質問したところ
画像を貼っていただいて(画像は画像添付の所に載せます,見にくかったら言ってください)
画像にP3までの道順とP2までの道順をすべて書き出してみました。上4つが青丸を通過する道順、真ん中4つが赤丸を通過する道順です。排反というのはこれら8つを見てお分かりの通り、スタートからゴールまでの道順で、一致するものはない、という意味です。
P3に至る道順とｘ軸とで囲まれる面積は左上から右に向かって順番に
0, 1/2, 3/2, 2, 2, 3/2, 7/2, 4
です。
これらの平均がE[3]なわけですね。さあ、これを求めましょう。
ところがよく見ると、青丸を通る道順の面積の合計（上４つ）はP2に至る道順（画像の下４つ）を考えた時に出てくる面積と同じなのです。その部分を薄く紫色に塗ってあります。
さらに赤丸を通る道順の面積は薄紫が塗ってある道順の面積に黄緑の面積を加えたものです（この塗り方を前回間違えていました）。
よってP4に至る道順とｘ軸とで囲まれる面積の平均は
｛（青丸通過の道順面積の平均）＋（赤丸通貨の道順面積の平均）｝の平均です。つまり、
｛（E[2]）＋（E[2]＋1×３－1/2）｝/2
これがE[3]と等しいのです。これを一般化して
E[n]=(1/2)・E[n-1]+(1/2)・(E[n-1]+n-1/2)を得ます。
と説明してただいて (以下自分が疑問に思った点)
青丸を通るE[3]の道順の面積とE[2]の折れ線の面積が同じになるのは結果を見れば分かるのですが、この図だけ見てすぐ分かるのですか？
そうだとしたらそれはどこで分かるんですか？それと紫の部分と言うのは面積ではないですよね？紫とか黄色の斜線の部分は何を表しているのですか？
と聞いた所 (以下解説していただいた内容)
紫色の部分は2×2の格子です。
P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。
そして、その2×2格子のパターンがP3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます。
それに気づいて欲しくて紫色で塗っているのです。さらにそうすることで赤丸と青丸が2×2格子のスタートと見なせることに気づいて欲しいのです。そして黄緑は赤丸を通る場合面積の底上げ部分が全部共通であることを図で示しているのです。
とお答えいただいたのですが (以下疑問に思った点)
>P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。
P[2]は(0,0)から始めると紫の2×2まで要らなくて3点(0,0),(2,0),(2,2)を結ぶ三角形の内部だけでよくないですか？下の斜線で書いたところだけ、だってこの範囲以外取り様が無いですよね？
>P3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます
この2×2格子もそうでしたが、3×3格子というのは何のためにかんがえるのですか？
という疑問なのですが、是非ともお答えいただけると助かります
お礼
よくわかりました、ありがとうございました