sinの多項式での近似

質問

「閉区間[-π/2,π/2]において誤差を10＾(-4)以下になるようにsinxを多項式で近似せよ」

という問題がわかりません！どなたか解説お願いします！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

sin(x)のマクローリン展開（x=0の周りのテイラー展開）の初項xからn項までの和をfn(x)とおく。
fn(x)の式がどの教科書の例題や参考書などに載っているでしょうし、展開係数の計算も定義式どおり計算すれば簡単に出てくるのでできるでしょう。
質問者自身でも自分で計算して見てください。

近似誤差の関数として
g(x)=sin(x)-fn(x)
とおくと、誤差は|g(x)|で表されます。
添付図にnを1から１ずつ増加していったときの誤差が10^(-4)=0.0001以下になる前後のg(x)グラフを描きました。
閉区間[-π/2,π/2]の全てのxに対してg(x)が範囲[-0.0001,0.0001]に収まるのはn≧5になることが分かります。
n=4だとx=±π/2付近でg(x)が範囲[-0.0001,0.0001]を超えていますね。

グラフを使わないで計算だけでは、誤差|g(x)|が最大となるxがx=±π/2の時であること、そして、その時の誤差がはじめて10^(-4)以下になるnを求めることが必要ですね。

回答No.1

KI401

ｘ＝０の周りでテイラー展開してください。
（つまり、マクローリン展開）
誤差が10^-4以下になるような項まで展開して、後の項を切り捨てるだけです。