代数学

質問

テストが近いのにわからないので教えていただけませんか？
みなさんのお力を貸してください。

R,Sを環、　ｆ：R→S　を環準同系、　T（　S　をSの部分環　とするとき
ｆの逆関数：｛ｘ（　R　｜　ｆ（ｘ）（　T　｝がRの部分環であることを示せ。
（　は部分集合であることを示しています。
パソコンでの打ち方がわからなかったので、わかりずらくてごめんなさい。

教えてください！

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

単に部分環の条件（和・積で閉）を確認するだけです．つまり
(1) x, y ∈ f^{-1}(T) に対して x + y ∈ f^{-1}(T)
(2) x, y ∈ f^{-1}(T) に対して x y ∈ f^{-1}(T)
の２つを確かめるだけです．

どちらも x ∈ f^{-1}(T) ⇔ f(x) ∈ T と f の準同型性から容易です．

お礼

こちらも回答していただいてありがとうございます。
テスト、どうにかなりそうです。
これからもよろしくお願いします・

回答No.3

arrysthmia

ほんまに解ったんかいな？

環の部分集合が部分環になる必要十分条件は…

(1) 減算と乗算について閉じている。
(2) 加算と加算逆元と乗算について閉じている。
(3) 加算と乗算について閉じており、-1 を含んでいる。

…等の、どれか。

(4) 加算と乗算について閉じている。

は、アウト。
例えば、自然数の集合は、整数環の部分環ではない。

お礼

整数環の逆関数はマイナスになるのに、
自然数の集合はすべてプラスの整数になるから
でよろしいですか？

回答No.2

arrysthmia

差と積で閉

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。