説明問題（量子力学）

質問

粒子が周期aの周期ポテンシャルで運動しているとき、粒子の固有状態は、φ_k(x+a)=e^ikaφ_k(x)という性質をもつことを説明する方法なんですが、
φ_k(x+a)=φ_k(x)+(φ_k(x))'a+(φ_k(x))"a^2/2!+…=Σ【k=1～∞】(a*d/dx)^n/n!*φ_k(x)=e^(a*d/dx)φ_k(x)
これより、φ_k(x)=Σ【j】b_j^(i(k-(2πi/a)x)だとすると、
φ_k(x+a)=φ_k(x)Σ【j】e^(i(ka+2π))となってしまうのですが、Σ【j】e^2πiという変なのついているのですが。。。
Σ【j】e^2πi=1+1+1+…という定数だから無視してOK?
あとこれで説明できてるか教えてください。

回答No.2

de_Raemon · ベストアンサー

＞φ_k(x)=Σ【j】b_j^(i(k-(2πi/a)x)だとすると

この部分は
φ_k(x)=Σ【j】b_j*e^(i(k-2π/a)x)
じゃないですか？
これだと
e^(a*d/dx)φ_k(x)＝Σ【j】b_j*e^(i(k-2π/a)x)*e^(i(ka-2π))
ですがe^(i(ka-2π))は添え字jを含まない単なる定数倍の項だから和の外に出して
e^(i(ka-2π))*Σ【j】b_j*e^(i(k-2π/a)x)
jについて和をとって
e^(i(ka-2π))*φ_k(x)
さらにe^(2πi)＝1なので
e^(a*d/dx)φ_k(x)＝e^ikaφ_k(x)
になりますが。

お礼

ありがとうございます。そのとおりでした。

回答No.1

eatern27

何をやっているのか分からないのですが、

>これより、φ_k(x)=Σ【j】b_j^(i(k-(2πi/a)x)だとすると、
これは何処から出てきた式ですか？(多分誤植があるのでしょうが、どういう式なのかも分からない^^;)
この形で表せない場合はどうするんですか？(必ずこの形で表せるというのならその理由は？)

>Σ【j】e^2πi=1+1+1+…という定数だから無視してOK?
定数だと無視していい理由は？

お礼

回答ありがとうございます。
φ_k(x)=Σ【j】b_j^(i(k-(2πi/a)x)←これは問題文にある条件なので。つまりφ_k(x)=Σ【j】b_j^(i(k-(2πi/a)x)の時、
φ_k(x+a)=e^ikaφ_k(x)という性質をもつことを説明するってことです。。。すみません。
無視はやっぱりできないですよね。。
だからおかしいと思って質問してみたのです。