数学

質問

数学の問題が解けません。どのようにしていたらいいのか見当もつかず、困っています。
だれかわかるかた、教えていただませんか？

問 直角をはさむ辺の長さを12cm,5cmとし、斜辺の長さを13cmとする。このとき、辺13cm,12cmをはさむ角の大きさは何度か？

自分の考え
cosθ = 12/13 の12/13の値に最も近い、θの値を探していけばいいと思思ったため、関数電卓でθの値は求めることができる。

この問題は、中学か高校の入試問題らしいのですが、
この問題を解く上で、高校までの知識（または、中学までの知識）でどのように解いたらいいのでしょうか？

このような問題ですが、どのようにしたらいいのでしょうか？
ぜひ、アドバイスをお願いしします。

回答No.2

arrysthmia

高校生なら、arccos(12/13) をテーラー展開して
近似値を求める手があるでしょう。

中学生だと、加法定数くらいしか
使える道具がないので、大変ですね。
cos( n(30度)+m(45度) ) が 12/13 に近くなる
n,m をヤマカンで見つけるとか…
萎え萎えですが。

「作図して分度器で測る」なら、
小学生でも可能です。

回答No.1

carvelo

求める角をθとしておきます。半径１３cm、内角θ[°]の扇形の弧の長さlは
l＝2*13*π*θ/360
また問題で与えられた三角形に相似で、長さ12cmの辺を13cmに延長したもの（表現が変ですが汲み取ってください＞＜）の、直角をはさむ辺のもう一辺（元の三角形で5cmだった辺）の長さdは
12:5=13:d
より
d=13*5/12
したがって
5 < l < d
より
5 < 2*13*π*θ/360 < 13*5/12
これを計算していくと
22.0<θ<23.9

あれ、思ったより近似の精度が低くて何度と答えるべきか…。まぁ、23度くらい？
面積を使ってやってみたら、もっと精度が低くなっちゃいました。高校入試の範囲ではこのくらいしか思いつかないんですが、もっといい方法があるのかもしれません。

補足

回答ありがとうございます。
質問があります。
(1)l＝2*13*π*θ/360
というのを、l＝2*13*π*θ/2πとして計算してもよいのでしょうか？
(2)5 < 2*13*π*θ/360 < 13*5/12
これを計算していくと
22.0<θ<23.9
との回答でしたが、計算を何度やっても、22.0<θ<23.9になりません。
ふつうの計算で、やっていますができません。
この計算方法を教えてくれませんか？
このときのπは3.14で計算されているのですか？

よろしくお願いします。