線形システム？漸化式の問題

質問

x_n=a_0+a_1x_[n-1]+a_2x_[n-2]+a_3x_[n-3]
(n=1,2,・・・・)
※ _は下につく文字を意味しています。[ ]については下につく文字が長いためそれをまとめているものです。 ※

初期値:x0,x_-1,x_-2は各１　a0=1とし、a1,a2,a3の値を変えて
x_nの挙動がどのようなルールで変化するか調べよ

例えば、a_1=1 a_2=1 a_3=1　と置くと、
x_0=1
x_1=4
x_2=7
x_3=13
x_4=25
x_5=46
のようにnが大きくなると発散していく様子がわかります。
このように、様々な値をa_1 a_2 a_3に入れていくと発散したり線形になったり収束したりします。

このとき、どのような条件下で発散するのか、線形になるのか、収束するのかがわかりません。
解と係数の関係をうまく使えば条件が見えてきそうなのですが、わからないのでどなたか教えて下さい

回答No.2

sinisorsa

z変換は分かりますか？
z変換が分かれば、式の両辺をz変換して、整理すると
X(z)=a_0/(1 - a_1・z^-1 - a_2・z^-2 - a_3・z^-3)
となります。
このとき、分母の多項式が0となるｚの値（これを極という）
の絶対値が１より小さい、１に等しい、１より大きい
場合に分けてみてください。
時間領域で考えるより簡単になると思います。

お礼

ｚ変換はよく理解できておりません。
ただ、その下の
X(z)=a_0/(1 - a_1・z^-1 - a_2・z^-2 - a_3・z^-3)
については、授業後のヒントとして
z^3-a_1z^2-a_2z^1-a_3=0　(*)
の解が重要になると教えられましたので、その式の重要性はなんとなくわかります。

(*)の解をα、β、γとおくと解と係数の関係から
a_1=α+β+γ
a_2=-(αβ+βγ+γα)
a_3=αβγ
より各パラメタを与えることが出来るのでこれによってX_nが決まります。
さらに、α、β、γのそれぞれ絶対値が１より小さい、１に等しい、１より大きいの
場合分けによってグラフの挙動が異なることが把握できるってことと自分は判断しました。

自分の中でネックだったのは
z^3-a_1z^2-a_2z^1-a_3=0
この式で、ヒントではz^3+a_1z^2+a_2z^1+a_3=0と符号が異なって教えられていました。

これで、α、β、γに依存してグラフの挙動が変化することが理解できました。

本当にありがとうございました<(_ _)>

かなり、自分の中ですっきりしてすごくテンション高くなっているので文章がおかしいかもしれません。。。本当にありがとうございました<(_ _)>

回答No.1

rabbit_cat

一般解を求めて、地道にやるのが実は一番早いのかな。
一般解は、いろいろやり方はありますが、行列の問題にするのが、見通しが良いか。
その漸化式は、４次正方行列
　　(a_1 a_2 a_3 a_0)
Ａ＝(1 0 0 0)
　　(0 1 0 0)
　　(0 0 0 1)
として
(x_n)　　　 　　　 　(x_[n-1])
(x_[n-1])　＝ A×(x_[n-2])
(x_[n-2])　　 　　　(x_[n-3])
(1)　　 　　　　　　　(1)
なんで、A^nを求めれば一般解が求まります。

それから、
＞発散したり線形になったり収束したりします
の、「線形になったり」というのはどういう場合ですか？
x_n=a+bn
みたいに書けるという場合のことですかね？

それから、可能性としては、x_nが周期的な値を繰り返すという場合（発散も収束もしない）もあるような気がしますが。

お礼

回答ありがとうございます。

線形になったりというのは、rabbit_catさんの言うとおりx_n=a+bnのように発散とも収束とも言えない線の形になることを言いたかったんです。

確かに周期的な値を繰り返す場合もありそうです。ご指摘ありがとうございます。

やはり一般解から求めるのが早いんでしょうか、、
隣接４項間漸化式として、解と係数の関係から発散条件・収束条件などが見えてくるような気がして一生懸命やってました。

rabbit_catさんのご指摘の方法で少し頑張ってみます。ありがとうございます